Усереднені характеристики гладкості в $L_2$ та оцінки значень поперечників функціональних класів
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v77i2.8794Ключові слова:
узагальнений скінченнорізницевий оператор, узагальнена характеристика гладкості функції, ряд Фур'є, коефіцієнти Фур'є, мажоранта, поперечники класів функцій.Анотація
УДК 517.5
У просторі $2\pi$-періодичних функцій $L_2$ досліджено характеристику гладкості $\omega^{*}_{\mathcal{M}}(f,t):=$ $(1/t) \displaystyle\int\nolimits_0^t \omega_{\mathcal{M}}(f,\tau) d \tau,$ яка є усередненням узагальненого модуля неперервності $\omega_{\mathcal{M}}(f),$ утвореного за допомогою узагальненого скінченнорізницевого оператора $\Delta^{{\mathcal{M}}}_h \colon L_2 \to L_2.$ Також досліджено певні властивості функцій $\omega_{\mathcal{M}}(f)$ і $\omega^{*}_{\mathcal{M}}(f).$ Для класів функцій $W(\omega^{*}_{\mathcal{M}}, \Phi),$ де $\Phi$ – мажоранта, знайдено оцінки знизу та зверху значень низки $n$-поперечників і вказано умову на $\Phi,$ за якої отримуємо їх точні значення. На конкретних прикладах проілюстровано кілька точних результатів.
Посилання
1. В. К. Дзядык, Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, Наука, Москва (1977).
2. А. Ф. Тиман, Теория приближения функций действительного переменного, Физматгиз, Москва (1960).
3. В. В. Жук, Аппроксимация периодических функций, Изд-во Ленинградского гос. ун-та, Ленинград (1982).
4. Н. П. Корнейчук, Экстремальные задачи теории приближения, Наука, Москва (1976).
5. J. Boman, H. S. Shapiro, Comparison theorems for a generalized modulus of continuity, Ark. Mat., 9, № 1, 91–116 (1971). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02383639
6. J. Boman, Equivalence of generalized moduli of continuity, Ark. Mat., 18, № 1, 73–100 (1980). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02384682
7. Z. Ditzian, V. Totik, Moduli of smoothness, Springer Ser. Comput. Math., 9, Springer-Verlag, New York (1987). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4778-4
8. Б. Сендов, В. Попов, Усредненные модули гладкости, Мир, Москва (1988).
9. В. В. Жук, О некоторых модификациях понятия модуля гладкости и их приложениях, Автореф. ... канд. физ.-мат. наук, Ленинградский гос. ун-т, Ленинград, 1–13 (1965).
10. В. В. Жук, О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности, Докл. АН СССР, 196, № 4, 748–750 (1971).
11. R. M. Trigub, Absolute convergence of Fourier integrals, summability of Fourier series and polynomial approximation of functions on the torus, Math. USSR – Izv., 17, № 3, 567–593 (1981). DOI: https://doi.org/10.1070/IM1981v017n03ABEH001372
12. Kamen G. Ivanov, On a new characteristic of functions. I., Сердика Бълг. Мат. Списание, 8, № 3, 262–279 (1982).
13. Kamen G. Ivanov, On a new characteristic of functions. II. Direct and converse theorems for the best algebraic approximation in $C[-1, 1]$ and $L_p[-1, 1]$, Плиска Бълг. Мат. Студ., 5, 151–163 (1983).
14. К. М. Потапов, Аппроксимация многочленами на конечном отрезке вещественной оси, Тр. междунар. конф. по конструктивной теории функций, Варна, 1-5 июня 1981 г., Болг. АН, София, 134–143 (1983).
15. В. В. Жук, Структурные свойства функций и точность аппроксимации, Дис. ... д-ра физ.-мат. наук, Санкт-Петербургский гос. ун-т, Санкт-Петербург, 1–60 (1993).
16. K. V. Runovskii, On approximation by families of linear polynomial operators in $L_p$-space, $0≺p≺1$, Sb. Math., 82, № 2, 441–459 (1995). DOI: https://doi.org/10.1070/SM1995v082n02ABEH003574
17. N. N. Pustovoitov, Estimates of the best approximations of periodic functions by trigonometric polynomials in terms of averaged differences and the multidimensional Jackson's theorem, Sb. Math., 188, № 10, 1507–1520 (1997). DOI: https://doi.org/10.1070/SM1997v188n10ABEH000265
18. A. G. Babenko, N. I. Chernykh, V. T. Shevaldin, The Jackson–Stechkin inequality in $L_2$ with trigonometric modulus of continuity, Math. Notes, 65, № 6, 777–781 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02675594
19. А. Г. Бабенко, О неравенстве Джексона–Стечкина для наилучших $L^2$-приближений функций тригонометрическими полиномами, Тр. Института математики и механики УрО РАН, 6, 1–19 (1999).
20. V. A. Abilov, F. V. Abilova, Approximation of functions by algebraic polynomials in the mean, Russian Math., 41, № 3, 60–62 (1997).
21. С. Н. Васильев, Точное неравенство Джексона–Стечкина в $L_2$ с модулем непрерывности, порожденным произвольным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами, Докл. АН, 385, № 1, 11–14 (2002).
22. A. I. Kozko, A. V. Rozhdestvenskii, On Jackson's inequality for generalized moduli of continuity, Math. Notes, 73, № 5, 736–741 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1024029208953
23. V. A. Abilov, F. V. Abilova, Problems in the approximation of $2π$-periodic functions by Fourier sums in the space $L_2$, Math. Notes, 76, № 6, 749–757 (2004). DOI: https://doi.org/10.1023/B:MATN.0000049674.45111.71
24. S. B. Vakarchuk, On the best polynomial approximations in $L_2$, Math. Notes, 70, № 3, 300–310 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1012335526330
25. S. B. Vakarchuk, On the best polynomial approximations of $2π$-periodic functions and exact values of $n$-widths of functional classes in the space $L_2$, Ukr. Math. J., 54, № 12, 1943–1957 (2002). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1024017113631
26. С. Б. Вакарчук, В. И. Забутная, Некоторые вопросы теории аппроксимации $2π$-периодических функций в пространствах $L_p,$ $1≤ p ≤ ∞$, Збірник праць Інституту математики НАН України, 1, № 1, 25–41 (2004).
27. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalites and exact values of widths of classes of functions in the space $S^p,$ $ 1≤p < ∞$, Ukr. Math. J., 56, № 5, 718–729 (2004). DOI: https://doi.org/10.1007/PL00022173
28. S. B. Vakarchuk, Exact constants in Jackson-type inequalities and exact values of the widths of function classes in $L_2$, Math. Notes, 78, № 5-6, 735–739 (2005). DOI: https://doi.org/10.1007/s11006-005-0176-y
29. S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutna, Widths of function classes from $L_2$ and exact constants in Jackson-type inequalities, East J. Approx., 14, № 4, 411–421 (2008).
30. S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, A sharp inequality of Jackson–Stechkin type in $L_2$ and the widths of functional classes, Math. Notes, 86, № 3, 306–313 (2009). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434609090028
31. S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, Jackson–Stechkin type inequalities for special moduli of continuity and widths of function classes in the space $L_2$, Math. Notes, 92, № 4, 458–472 (2012). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434612090180
32. S. B. Vakarchuk, The best mean square approximation of functions, given at the real axis by entire functions of exponential type, Ukr. Math. J., 64, № 5, 754–767 (2012). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-012-0671-8
33. M. S. Shabozov, S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, Sharp Jackson–Stechkin type inequalities for periodic functions in $L_2$ and widths of function classes, Dokl. Math., 88, № 1, 478–481 (2013). DOI: https://doi.org/10.1134/S106456241304039X
34. S. B. Vakarchuk, M. Sh. Shabozov, V. I. Zabutnaya, Structural characteristics of functions from $L_2$ and the exact values of widths of some functional classes, J. Math. Sci., 206, № 1, 97–114 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-015-2296-6
35. S. B. Vakarchuk, Generalized smoothness characteristics in Jackson-type inequalities and widths of classes of functions in $L_2$, Math. Notes, 98, № 4, 572–588 (2015). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434615090254
36. S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, Inequalities between best polynomial approximations and some smoothness characteristics in the space $L_2$ and widths of classes of functions, Math. Notes, 99, № 2, 222–242 (2016). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434616010259
37. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2. $ I, Ukr. Math. J., 68, № 6, 823–848 (2016). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-016-1260-z
38. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2. $ III, Ukr. Math. J., 68, № 10, 1299–1319 (2017). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-017-1309-7
39. S. B. Vakarchuk, Widths of some classes of functions defined by the generalized moduli of continuity $ω_{γ}$ in the space $L_2$, J. Math. Sci., 227, № 1, 105–115 (2017). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3577-z
40. S. B. Vakarchuk, Best polynomial approximations and widths of classes of functions in the space $L_2$, Math. Notes, 103, № 2, 308–312 (2018). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434618010327
41. S. B. Vakarchuk, Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the approximation theory of functions in the space $L_2(R).$ I, Ukr. Math. J., 70, № 9, 1345–1374 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-019-01585-z
42. S. B. Vakarchuk, Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the approximation theory of functions in the space $L_2(R). $ II, Ukr. Math. J., 70, № 10, 1550–1584 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-019-01590-2
43. S. B. Vakarchuk, On estimates in $L_2(R)$ of mean $ν$-widths of classes of functions defined via the generalized modulus of continuity of $ω_{M}$, Math. Notes, 106, № 2, 191–202 (2019). DOI: https://doi.org/10.1134/S000143461907023X
44. F. G. Abdullayev, A. S. Serdyuk, A. L. Shidlich, Widths of functional classes defined by the majorants of generalized moduli of smoothness in the space $S^p$, Ukr. Math. J., 73, № 6, 841–858 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-021-01963-6
45. F. Abdullayev, S. Chaichenko, A. Shidlich, Direct and inverse approximation theorems of functions in the Musielak–Orlicz type space, Math. Inequal. and Appl., 24, № 4, 323–336 (2021). DOI: https://doi.org/10.7153/mia-2021-24-23
46. F. Abdullayev, S. Chaichenko, M. Imashkyzy, A. Shidlich, Jackson-type inequalities and widths of functional classes in the Musielak–Orlicz type space, Rocky Mountain J. Math., 51, № 4, 1143–1155 (2021). DOI: https://doi.org/10.1216/rmj.2021.51.1143
47. S. O. Chaichenko, A. L. Shidlich, T. V. Shulyk, Direct and inverse approximation theorems in the Besicovitch–Musielak–Orlicz spaces of almost periodic functions, Ukr. Mat. Zh., 74, № 5, 701–716 (2022). DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i5.7045
48. S. Vakarchuk, M. Vakarchuk, Approximation in the mean for the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimation of the values of their $n$-widths, Ukr. Math. J., 76, № 2, 214–242 (2024). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-024-02317-8
49. К. Гофман, Банаховы пространства аналитических функций, Изд-во иностр. лит., Москва (1963).
50. П. Кусис, Введение в теорию пространств $H^p$ с приложением доказательства Волффа теоремы о короне, Мир, Москва (1984).
51. E. A. Storozhenko, On a problemof Hardy–Littlewood, Math. USSR-Sb., 47, № 5, 557–577 (1984). DOI: https://doi.org/10.1070/SM1984v047n02ABEH002659
52. L. V. Taikov, Best approximations of differentiable functions in the metric of the space $L_2$, Math. Notes, 22, № 4, 789–794 (1977). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01146425
53. L. V. Taikov, Diameters of certain classes of analytic functions, Math. Notes, 22, № 2, 650–656 (1977). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01780976
54. Н. Айнуллоев, Поперечники классов аналитических функций в единичном круге, Сб. научн. тр. „Геометр. вопросы теории функций и множеств'', Калининский гос. ун-т, Калинин, 91–101 (1986).
55. S. B. Vakarchuk, On some extremal problems of aproximation theory in the complex plane, Ukr. Math. J., 56, № 9, 1371- 1390 (2004). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-005-0122-x
56. А. И. Гусейнов, Х. Ш. Мухтаров, Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений, Наука, Москва (1980).
57. O. V. Besov, S. B. Stechkin, A description of the moduli of continuity in $L_2$, Proc. Steklov Inst. Math., 134, 27–-30 (1977).
58. V. A. Yudin, The modulus of continuity in $L_2$, Sib. Math. J., 20, № 2, 321–322 (1979). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00970049
59. K. Runovski, H.-J. Schmeisser, On modulus of continuity related to Riesz derivative, Preprint, Friedrich-Schiller-Universit?t Jena, Jena (2011).
60. S. Yu. Artamonov, Nonperiodic modulus of smoothness corresponding to the Riesz derivative, Math. Notes, 99, № 6, 928–931 (2016). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434616050321
61. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Наука, Москва (1971).
62. В. М. Тихомиров, Некоторые вопросы теории приближений, Изд-во Московского гос. ун-та, Москва (1976).
63. A. Pinkus, $N$-widths in approximation theory, Springer-Verlag, New York (1985). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-69894-1
64. V. N. Temlyakov, Approximation of periodic functions, Nova Sci. Publ., New York (1993).
65. А. Ф. Тиман, М. Ф. Тиман, Обобщенный модуль непрерывности и наилучшее приближение в среднем, Докл. АН СССР, 71, № 1, 17–20 (1950).
66. А. А. Конюшков, Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье, Мат. сб., 44, № 1, 53–84 (1958).
67. М. К. Потапов, О коэффициентах Фурье, Сб. трудов „Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций'', Институт математики и механики, Баку, 475–483 (1965).
68. H. Lebesque, Sur la representation trigonometrique approchee des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz, Bull. Math. France, 38, 184–210 (1910). DOI: https://doi.org/10.24033/bsmf.859
69. S. Nikolsky, La serie de Fourier d'une function dont le module de continuite est donne, Докл. АН СССР, 52, № 1, 191–194 (1946).
70. А. В. Ефимов, Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье, Изв. АН СССР. Сер. мат., 24, № 2, 243–296 (1960).
71. A. I. Stepanets, Sharp estimates of Fourier coefficients on classes of continuous and differentiable periodic functions of several variables, Sov. Math. Dokl., 24, 477–480 (1981).
72. Г. Алексич, Проблемы сходимости ортогональных рядов, Изд-во иностр. лит., Москва (1963).
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 Сергій Вакарчук, Валентина Забутна, Михайло Вакарчук
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
