Аналог одной теоремы Хана для бесконечных произведений

Анотація

В одной из работ (РЖ 1964, 12545) автором доказана следующая теорема.

$Теорема.$ Пусть $A_n = \Pi_{k=1}^{\infty} (1 + a_{nk}u_k)$. Для того чтобы $A_n→p\neq, n→\infty$, для любой абсолютно сходящейся к $a$ последовательности $\{u_k\}$, достаточно чтобы 1) $\lim_{n→\infty}a_{nk}=a_k$; 2) $\lim_{n→\infty}\Pi^{\infty}(1+a_{nk}a)$; 3) $\sum_{k=1}^{\infty}a^2_{nk}=0 \quad (1)$.

Доказано, что эти условия являются необходимыми.