Групова класифікація класу систем нелінійних рівнянь дифузії. I
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i3-4.8902Ключові слова:
Групова класифікація, система рівнянь дифузії, ліївські симетрії, група еквівалентності, (1+1)-вимірні нелінійні еволюційні рівнянняАнотація
УДК 517.95:512.81
Досліджено ліївські симетрії класу систем $(1+1)$-вимiрних нелiнiйних рiвнянь дифузiї. Знайдено його алгебру еквiвалентностi та ядро максимальних алгебр iнварiантностi. Доведено, що існує дев'ять нееквівалентних підкласів цього класу, для яких відповідні системи дифузії допускають розширення ядра максимальних алгебр інваріантності. Проведено вичерпну групову класифікацію систем нелінійних рівнянь дифузії, що належать до першого з виокремлених підкласів.
Посилання
1. В. І. Лагно, С. В. Спічак, В. І. Стогній, Симетрійний аналіз рівнянь еволюційного типу, Праці Інституту математики НАН України: Математика та її застосування, 45, Київ (2002).
2. М. І. Сєров, Н. В. Ічанська, Ліївська та умовна симетрії нелінійних еволюційних рівнянь, Полтавський національний технічний університет, Полтава (2010).
3. М. І. Сєров, Т. О. Карпалюк, Принцип відносності Галілея для еволюційних рівнянь, Наукова думка, Київ (2020).
4. М. І. Сєров, І. В. Рассоха, Симетрійні властивості рівнянь реакції–конвекції–дифузії, Полтавський національний технічний університет, Полтава (2013).
5. М. І. Сєров, М. М. Сєрова, Ю. В. Приставка, Класифікація симетрійних властивостей $(1+2)$-вимірного рівняння реакції–конвекції–дифузії, Нелін. коливання, 22, № 1, 98–117 (2019).
6. В. А. Тичинін, Симетрія і точні розв'язки рівняння $u_t=h(u)u_{xx}$. Симетрійний аналіз і розв'язки рівнянь матфізики} [рос.], Збірник наукових праць Інституту математики АН УРСР, № 8, 72–77 (1988).
7. A. A. Abramenko, V. I. Lagno, A. M. Samoilenko, Group classification of nonlinear evolution equations. II. Invariance under solvable local transformation groups, Differ. Equаt., 38, № 4, 502–509 (2002). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1016307615221
8. I. Sh. Akhatov, R. K. Gazizov, N. Kh. Ibragimov, Group classification of equation of nonlinear filtration, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 293, № 5, 1033–1035 (1987).
9. V. A. Baikov, A. V. Gladkov, R. J. Wiltshire, Lie symmetry classification analysis for nonlinear coupled diffusion, J. Phys. A, 31, № 37, 7483–7499 (1998). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/31/37/009
10. P. Basarab–Horwath, V. I. Lahno, R. Z. Zhdanov, The structure of Lie algebras and the classification problem for partial differential equations, Acta Appl. Math., 69, № 1, 43–94 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1012667617936
11. A. Bihlo, N. Poltavets, R. O. Popovych, Lie symmetries of two-dimensional shallow water equations with variable bottom topography, Chaos, 30, № 7, Article 073132 (2020). DOI: https://doi.org/10.1063/5.0007274
12. R. M. Cherniha, J. R. King, Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction–diffusion systems. II, J. Phys. A, 36, № 2, 405–425 (2003). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/36/2/309
13. R. M. Cherniha, M. I. Serov, I. V. Rassokha, Lie symmetries and form-preserving transformations of reaction–diffusion–convection equations, J. Math. Anal. Appl., 342, № 2, 1363–1379 (2008). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.01.011
14. R. M. Cherniha, M. I. Serov, O. G. Pliukhin, Nonlinear reaction–diffusion–convection equations: Lie and conditional symmetry, exact solutions and their applications, Monographs and Research Notes in Mathematics, CRC Press, Florida (2018). DOI: https://doi.org/10.1201/9781315154848
15. R. M. Cherniha, M. I. Serov, Yu. V. Prystavka, A complete Lie symmetry classification of a class of $(1+2)$-dimensional reaction–diffusion–convection equations, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 92, Article 105466 (2021). DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2020.105466
16. E. Demetriou, Lie group classification of diffusion-type equations, PhD Theses, University of Cyprus Nicosia, Nicosia (2008).
17. V. A. Dorodnitsyn, On invariant solutions of the equation of non-linear heat conduction with a source, USSR Comput. Math. Math. Phys., 22, № 6, 115–122 (1983). DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(82)90102-1
18. M. P. Edwards, Classical symmetry reductions of nonlinear diffusion–convection equations, Phys. Lett. A, 190, № 2, 149–154 (1994). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(94)90068-X
19. W. I. Fushchych, R. M. Cherniha, Galilei-invariant nonlinear systems of evolution equations, J. Phys. A, 28, № 19, 5569–5579 (1995). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/28/19/012
20. N. H. Ibragimov (ed.), CRC handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol. 1. Symmetries, exact solutions and conservation laws, CRC Press, Boca Raton, FL (1994).
21. N. M. Ivanova, R. O. Popovych, C. Sophocleous, Group analysis of variable coefficient diffusion–convection equations. I. Enhanced group classification, Lobachevskii J. Math., 31, № 2, 100–122 (2010). DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080210020034
22. S. Kontogiorgis, C. Sophocleous, Group classification of systems of diffusion equations, Math. Meth. Appl. Sci., 40, 1746–1756 (2017). DOI: https://doi.org/10.1002/mma.4094
23. S. D. Koval, R. O. Popovych, Point and generalized symmetries of the heat equation revisited, J. Math. Anal. Appl., 527, № 2, Article 127430 (2023). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2023.127430
24. V. I. Lagno, A. M. Samoilenko, Group classification of nonlinear evolution equations. I. Invariance under semisimple local transformation groups, Differ. Equat., 38, № 3, 384–391 (2002). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1016014026651
25. S. Lie, Diskussion der Differentialgleichung $d^2 z/dxdy=F(z)$, Arch. Math., 6, 112–124 (1881); (Reprinted in: S. Lie, Gesammelte Abhandlungen, vol. 3, B. G. Teubner, Leipzig and H. Aschehoug & Co, Kristiania, pp. 469–478.)
26. S. Lie, Über die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linear partieller Differentialgleichung, Arch. Math., 6, № 3, 328–368 (1881); English translation: N. H. Ibragimov, S. Lie, On integration of a class of linear partial differential equations by means of definite integrals, CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, vol. 2. Applications in Engineering and Physical Sciences, CRC Press, Boca Raton, FL (1995), pp. 473–508.
27. S. Lie, Vorlesungen über Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen, B. G. Teubnner, Leipzig (1891).
28. A. G. Nikitin, Group classification of systems of nonlinear reaction–diffusion equations, Ukr. Math. Bull., 2, № 2, 153–204 (2005).
29. A. G. Nikitin, System of reaction–diffusion equations and their symmetry properties, J. Math. Phys., 42, № 4, 1666–1688 (2001). DOI: https://doi.org/10.1063/1.1331318
30. A. G. Nikitin, R. O. Popovych, Group classification of nonlinear Schrödinger equations, Ukr. Math. J., 53, № 8, 1255–1265 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1013347626895
31. P. Olver, Applications of Lie groups to differential equations, Springer, Berlin (1986). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0274-2
32. S. Opanasenko, V. Boyko, R. O. Popovych, Enhanced group classification of nonlinear diffusion-reaction equations with gradient-dependent diffusion}, J. Math. Anal. Appl., 484, № 1, 123739 (2020). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.123739
33. A. Oron, P. Rosenau, Some symmetries of the nonlinear heat and wave equations, Phys. Lett. A, 118, № 4, 172–176 (1986). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601(86)90250-1
34. L. V. Ovsiannikov, Group analysis of differential equations, Academic Press, New York (1982). DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-531680-4.50007-1
35. L. V. Ovsyannikov, Group properties of the nonlinear heat-conduction equation, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 125, 492–495 (1959).
36. R. O. Popovych, N. M. Ivanova, New results on group classification of nonlinear diffusion–convection equations, J. Phys. A, 37, № 30, 7547–7565 (2004). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/37/30/011
37. M. I. Serov, T. O. Karpaliuk, O. G. Pliukhin, I. V. Rassokha, Systems of reaction–convection–diffusion equations invariant under Galilean algebras, J. Math. Anal. Appl., 422, № 1, 185–211 (2015). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2014.08.018
38. C. Sophocleous, R. J. Wiltshire, On linearizing systems of diffusion equations, SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl., 2, Article 004 (2006). DOI: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2006.004
39. I. V. Stepanova, Group analysis of variable coefficients heat and mass transfer equations with power nonlinearity of thermal diffusivity, Appl. Math. Comput., 343, 57–66 (2019). DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.09.036
40. I. V. Stepanova, On some group properties of heat and mass transfer equation, J Phys.: Conf. Series, 894, Article 012090 (2017). DOI: https://doi.org/10.1088/1742-6596/894/1/012090
41. O. O. Vaneeva, A. G. Johnpillai, R. O. Popovych, C. Sophocleous, Enhanced group analysis and conservation laws of variable coefficient reaction–diffusion equations with power nonlinearities, J. Math. Anal. Appl., 330, № 2, 1363–1386 (2007). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2006.08.056
42. O. O. Vaneeva, R. O. Popovych, C. Sophocleous, Enhanced group analysis and exact solutions of variable coefficient semilinear diffusion equations with a power source, Acta Appl. Math., 106, № 1, 1–46 (2009). DOI: https://doi.org/10.1007/s10440-008-9280-9
43. O. O. Vaneeva, R. O. Popovych, C. Sophocleous, Extended group analysis of variable coefficient reaction–diffusion equations with exponential nonlinearities, J. Math. Anal. Appl., 396, № 1, 225–242 (2012). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2012.05.084
44. O. O. Vaneeva, C. Sophocleous, P. Leach, Lie symmetries of generalized Burgers equations: application to boundary-value problems, J. Engrg. Math., 91, 165–176 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s10665-014-9741-2
45. O. O. Vaneeva, A. Yu. Zhalij, Group classification of variable coefficient quasilinear reaction–diffusion equations, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N.S.), 94, № 108, 81–90 (2013). DOI: https://doi.org/10.2298/PIM1308081V
46. C. M. Yung, K. Verburg, P. Baveye, Group classification and symmetry reductions of the nonlinear diffusion–convection equation $u_t=(D(u)u_x)-K'(u)u_x$, Internat. J. Non-Linear Mech., 29, № 3, 273–278 (1994). DOI: https://doi.org/10.1016/0020-7462(94)90001-9
47. R. Z. Zhdanov, V. I. Lahno, Group classification of heat conductivity equations with a nonlinear source, J. Phys. A, 32, № 42, 7405–7418 (1999). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/42/312
