Аналіз збурень сингулярних значень конкатенованих матриць
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v77i8.9103Ключові слова:
numerical analysis, perturbation analysis, singular values, concatenated matrices, clustering, Singular Value Decomposition, matrix theoryАнотація
УДК 512.5
Конкатенація матриць є поширеним прийомом для виявлення спільної структури в даних за допомогою сингулярного розкладу матриць (SVD) та низькорангової апроксимації. Основне питання полягає в тому як спектр сингулярних значень конкатенованої матриці пов’язаний зі спектрами її складових. У цій статті розширено техніку збурень, що узагальнює класичні результати, такі як нерівність Вейля, на випадок конкатенованих матриць. Встановлено аналітичні межі, які кількісно характеризують стабільність сингулярних значень при малих збуреннях її підматриць. Показано, що якщо підматриці близькі за певною нормою, домінантні сингулярні значення конкатенованої матриці залишаються стабільними, що дає змогу керувати компромісом між точністю та стисненням. Отримані результати забезпечують теоретичну основу для вдосконалених стратегій кластеризації та стиснення матриць із застосуваннями в чисельній лінійній алгебрі, обробці сигналів та моделях, побудованих на даних.
Посилання
1. D. Chandler, The rotation of eigenvectors by a perturbation, J. Math. Anal. and Appl. (US), 6 (1963). DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(63)90001-5
2. C. Eckart, G. Young, The approximation of one matrix by another of lower rank, Psychometrika, 1, № 3, 211–218 (1936). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02288367
3. A. Gramfort, M. Luessi, E. Larson, D. A. Engemann, D. Strohmeier, C. Brodbeck, R. T. Hlushchuk, M. Hämäläinen, Meg and eeg data analysis with mne-python, Front. Neuroscie, 7(267), 1–13 (2013).
4. R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix analysis, Cambridge University Press (1985). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511810817
5. P. Kairouz, H. B. McMahan, B. Avent, A. Bellet, M. Bennis, A. N. Bhagoji et al., Advances and open problems in federated learning, Found. and Trends Machine Learning, 14, № 1–2, 1–210 (2021). DOI: https://doi.org/10.1561/2200000083
6. H. B. McMahan, E. Moore, D. Ramage, S. Hampson, B. Aguera y Arcas, Communication-efficient learning of deep networks from decentralized data, Proc. 20th International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (AISTATS), vol. 54, Proc. Machine Learning Research, 1273–1282 (2017).
7. E. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen: I. Entwicklung willkürlicher Funktionen nach systemen Vorgeschriebener, Math. Ann., 63, № 4, 433–476 (1907). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01449770
8. G. W. Stewart, Perturbation theory for the singular value decomposition, Digital Repository at the University of Maryland (1998).
9. G. W. Stewart, Ji-Guang Sun, Matrix perturbation theory, Academic Press, San Diego (1990).
10. D. Tse, P. Viswanath, Fundamentals of wireless communication, Cambridge University Press (2005). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511807213
11. H. Weyl, Das asymptotische Verteilungsgesetz der eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung), Math. Ann., 71, 441–479 (1912). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01456804
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 Максим Шамрай
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
