Матриці розсіяння для збурень оператора Лапласа нескінченними сумами потенціалів нульового радіуса
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i7-8.9170Ключові слова:
банахів та гільбертів простори, нормальний оператор, задача Коші, спектр оператора, ціла вектор-функція, коректність n 1 раз проінтегрованої задачі КошіАнотація
УДК 517.983, 517.984
Розглянуто резольвенти та матриці розсіювання для таких пар необмежених самоспряжених операторів у $\mathbb{L}_{2}(\mathbf{R}_{3})$: стандартного оператора Лапласа $A$ та його самоспряженого збурення, яке строго реалізує формальну суму $A$ з нескінченною лінійною комбінацією потенціалів нульового радіуса. З використанням формули Крейна для резольвенти збуреного оператора встановлено достатні умови, за яких різниця резольвент цієї пари є ядерним оператором. За цих умов виведено та проаналізовано явну формулу для відповідних матриць розсіювання.
Посилання
1. S. Albeverio, P. Kurasov, Singular perturbations of differential operators, Cambridge University Press, Cambridge (2000).
2. S. Albeverio, F. Gesztesy, R. Høegh-Krohn, H. Holden, Solvable models in quantum mechanics, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2005).
3. F. A. Berezin, L. D. Faddeev, Remarks on the Schrödinger equation with singular potential, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 137, 1011–1014 (1961).
4. Yu. Demkov, V. Ostrovsky, Zero-range potentials and their applications in atomic physics, Plenum Press, New York (1988).
5. P. Exner, J. P. Keating, P. Kuchment, T. Sunada, A. Teplyaev, Analysis on graphs and its applications, Proc. Sympos. Pure Math., 77, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2008).
6. M. G. Krein, Concerning the resolvents of an Hermitian operator with the deficiency-index $(m,m)$, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 52, 651–654 (1946).
7. V. Adamyan, Singular perturbations of unbounded selfadjoint operators. Reverse approach, Oper. Theory Adv. Appl., 276, 63–79 (2020).
8. D. R. Yafaev, Mathematical scattering theory, Transl. Math. Monogr., 105, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1992).
9. В. М. Адамян, Б. С. Павлов, Потенціали нульового радіуса та формула узагальнених резольвент М. Г. Крейна, Зап. наук. сем. ЛОМІ, 149, 7–23 (1986); , English translation: J. Soviet Math., 42, 1537–1550 (1988).
10. M. M. Malamud, K. Schmüdgen, Spectral theory of Schrödinger operators with infinitely many point interactions and radial positive definite functions, J. Funct. Anal., 263, 3144–3194 (2012).
11. J. Behrndt, M. Malamud, H. Neidhardt, Scattering matrices and Weyl functions, Proc. Lond. Math. Soc., 97, 568–598 (2008).
12. J. Behrndt, M. Malamud, H. Neidhardt, Scattering matrices and Dirichlet-to-Neumann maps, J. Funct. Anal., 273, 1970–2025 (2017).
13. A. Grossmann, R. Høegh-Krohn, M. Mebkhout, A class of explicitely soluble, local, many-center Hamiltonians for one-particle quantum mechanics in two and three dimensions, J. Math. Phys., 21, № 9, 2376–2385 (1980).
14. V. Adamyan, B. Pavlov, Local scattering problem and a solvable model of quantum network, Oper. Theory Adv. Appl., 198, 1–10 (2009).
