Точні значення поперечників класів функцій, означених за допомогою усереднених характеристик гладкості та мажорант, у просторі $L_2$
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v77i10.9225Ключові слова:
узагальнений модуль неперервності, узагальнена характеристика гладкості, мажоранта, найкраще поліноміальне наближення, клас функцій, поперечник.Анотація
УДК 517.5
Для класів $2\pi$-періодичних функцій, утворених із використанням усереднених характеристик гладкості та мажорант, у просторі $L_2$ обчислено точні значення низки поперечників при певному обмеженні на мажоранти. З метою конкретизації отриманого результату розглянуто кілька прикладів. Наведені нові результати є логічним продовженням попередніх досліджень авторів.
Посилання
1. С. Б. Вакарчук, В. І. Забутна, М. Б. Вакарчук, Усереднені характеритики гладкості в $L_2$ та оцінки значень поперечників функціональних класів, Укр. мат. журн., 77, № 2, 83–106 (2025). DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v77i2.8794
2. K. Runovski, H.-J. Schmeisser, On modulus of continuity related to Riesz derivative, Preprint, Friedrich-Schiller-Universitat, Jena (2011).
3. S. Yu. Artamonov, Nonperiodic modulus of smootness corresponding to the Riesz derivative, Math. Notes, 99, № 6, 928–931 (2016). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434616050321
4. S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, Inequalities between best polynomial approximation and some smoothness characteristics in the space $L_2$ and widths of classes of functions, Math. Notes, 99, № 2, 222–242 (2016). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434616010259
5. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2. $ I, Ukr. Math. J., 68, № 6, 823–848 (2016). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-016-1260-z
6. A. Pinkus, $n$-Widths in approximation theory}, Springer-Verlag, New York (1985). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-69894-1
7. Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш, Специальные функции, Наука, Москва (1968).
8. С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, О средних $ν$-поперечниках некоторых классов функций в пространстве $L_2(R)$, Вісн. Дніпропетр. ун–ту, серія мат., вип. 22, 24, № 6/1, 14–22 (2017).
9. S. B. Vakarchuk, Widths of some classes of functions defined by generalized moduli of continuity $ω_γ$ in space $L_2$, J. Math. Sci., 227, № 1, 105–215 (2017). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3577-z
10. S. B. Vakarchuk, On estimates in $L_2(R)$ of mean $ν$-widths of classes of functions defined via the generalized modulus of continuity of $ω_{M}$, Math. Notes, 106, № 2, 191–202 (2019). DOI: https://doi.org/10.1134/S000143461907023X
11. S. B. Vakarchuk, On the estimates of widths of the classes of functions defined by the generalized moduli of continuity and majorants in the weighted space $L_{2,x}(0,1)$, Ukr. Math. J., 71, № 2, 202–214 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-019-01639-2
12. S. B. Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, Approximation in the mean for the classes of functions in the space $L_2[(0,1);x]$ by the Fourier–Bessel sums and estimation of the values of their $n$-widths, Ukr. Math. J., 76, № 2, 214–242 (2024). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-024-02317-8
13. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths for the classes of $(ψ,β)$-differentiable functions in $L_2. $ II, Ukr. Math. J., 68, № 8, 823–846 (2017). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-017-1285-y
14. S. B. Vakarchuk, Best polynomial approximation and widths of classes of functions in the space $L_2$, Math. Notes, 103, № 2, 308–312 (2018). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434618010327
15. S. B. Vakarchuk, Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the theory of functions in the space $L_2(R).$} I, Ukr. Math. J., 70, № 9, 1345–1374 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-019-01585-z
16. А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, Физматгиз, Москва (1959).
17. И. П. Натансон, Теория функций вещественной переменной, Наука, Москва (1974).
18. M. G. Esmaganbetov, Widths of classes from $L_2[0,2π]$ and the minimization of exact constants in Jackson-type inequalities, Math. Notes, 65, № 6, 689–693 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02675582
19. F. G. Abdullayev, S. O. Chaichenko, M. Imashkyzy, A. L. Shidlich, Jackson-type inequalities and widths of functional classes in the Musielak–Orlich type space, Rocky Mountain J. Math., 51, № 4, 1143–1155 (2021). DOI: https://doi.org/10.1216/rmj.2021.51.1143
20. F. G. Abdullayev, A. S. Serduyk, A. L. Shidlich, Widths of functional classes defined by the majorants of generalized moduli of smoothness in the space $S^p$, Ukr. Math. J., 73, № 6, 841–858 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-021-01963-6
21. S. B. Vakarchuk, On estimamates of diameter values of classes of functions in the weight space $L_{2,γ}(R^2),$ $γ=exp(-x^2-y^2)$, J. Math. Sci., 264, № 4, 471–488 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-022-06012-6
22. N. I. Chernykh, The best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials in $L_2$, Math. Notes, 2, № 5, 803–808 (1967). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01093942
23. А. И. Степанец, Классификация и приближение периодических функций, Наукова думка, Киев (1987).
24. А. И. Степанец, Методы теории приближений, в 2-х ч., ч. 1, Институт математики НАН Украины, Киев (2002).
25. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the $n$-widths of the classes of $(ψ, β)$-differentiable functions in $L_2. $ III, Ukr. Math. J., 68, № 10, 1299–1319 (2017). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-017-1309-7
26. С. Б. Вакарчук, О наилучшей полиномиальной аппроксимации $(ψ, β)$-дифференцируемых функций в пространстве $L_2$, Вісн. Дніпропетр. ун-ту, сер. мат., вип. 22, 24, № 6/1, 3–13 (2017).
27. А. И Степанец, Аппроксимационные характеристики пространств $S^p_{φ}$, Препринт, Институт математики НАН Украины, Киев (2000).
28. A. I. Stepanets, Approximation characteristics of the spaces $S^p_{φ}$ in different metrics, Ukr. Math. J., 53, № 4, 1340–1374 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1013307912783
29. A. I. Stepanets, Approximation characteristics of spaces $S^p_{φ}$, Ukr. Math. J., 53, № 3, 446-475 (2001). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1012348506457
30. A. I. Stepanets, A. S. Serdyuk, Approximation characteristics of spaces $S^p_{φ}$, Ukr. Math. J., 54, № 1, 126-148 (2002). DOI: https://doi.org/10.1023/A:1019701805228
31. В. Р. Войцехівський, Нерівності типу Джексона при наближенні функцій з простору $S^p_{φ}$ сумами Зигмунда, Теорія наближення функцій та суміжні питання, Праці Інституту математики НАН України, 35, 33–46 (2002).
32. V. R. Voitsekhivs'kyi, Jackson-type inequalities in the space $S^p$, Ukr. Math. J., 55, № 9, 1410–1422 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000018004.30106.f9
33. В. Р. Войцехівський, Поперечники деяких класів функцій з простору $S^p$, Екстремальні задачі теорії функцій та суміжні питання, Праці Інституту математики НАН України, 46, 17–26 (2003).
34. S. B. Vakarchuk, Jackson-type inequalities and exact values of widths of classes of functions in the spaces $S^p,$ $1≤ p <∞$, Ukr. Math. J., 56, № 5, 718–729 (2004). DOI: https://doi.org/10.1007/PL00022173
35. S. B. Vakarchuk, A. N. Shchitov, On some extremal problems in the theory of approximation of functions in the spaces $S^p,$ $1 ≤ p < ∞$, Ukr. Math. J., 58, № 3, 340–356 (2006). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-006-0070-0
36. А. И. Степанец, Методы теории приближений, в 2-х ч., ч. ІІ, Институт математики НАН Украины, Киев (2002).
Завантаження
Опубліковано
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2025 Сергій Вакарчук, Валентина Забутна, Михайло Вакарчук
Ця робота ліцензується відповідно до ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
