Задача Боянова–Найдьонова та нерівності різних метрик
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i3-4.9328Ключові слова:
Задача Боянова-Найдьонова, нерівності різних метрик, класи функцій із заданою функцією порівняння, соболєвські класи, поліноми, сплайниАнотація
УДК 517.51
Розв'язано задачу Боянова–Найдьонова $\|x\|_{q, \delta} \to \sup$ на класах диференційовних функцій $ W^r_{p, \omega}(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \omega} \le A_0,\ \|x^{(r)}\|_{\infty} \le A_r \}, $ де $\|x\|_{p, \, \delta} := \sup \{\|x\|_{L_p[a, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},$ $0< b-a \le \delta \}, \;p, \delta > 0; $ $q \ge p;$ $\omega := \pi / \lambda,$ а $\lambda$ обрано за умовою $ A_0 = A_r \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \, \pi / \lambda}, $ $\varphi_{\lambda, r}(t) := \lambda^{-r}\varphi_{r}(\lambda t),$ $\varphi_{r}$ – ідеальний сплайн Ейлера порядку $r.$ Встановлено, що ця задача еквівалентна задачі про точну константу $C = C(\lambda)$ в нерівності різних метрик\begin{align}\|x\|_{q, \delta} \leq C \|x\|_{p, \varepsilon}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1-\alpha},\quad x\in L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon},\tag{1} \end{align} де $\alpha = \dfrac{r + 1/q}{r + 1/p},$ $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon} := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x\|_{p, \varepsilon} = \|\varphi_{\lambda, r}\|_{p, \varepsilon} \|x^{(r)}\|_{\infty} \}, \;\lambda > 0. $ Зокрема, отримано точні на класах $L^{r, \lambda}_{p, \varepsilon}$ нерівності вигляду (1). Розв'язано також задачу Боянова–Найдьонова на просторах тригонометричних поліномів і сплайнів, отримано теореми про взаємозв'язок цієї задачі з точними нерівностями різних метрик. Як наслідки доведено точні нерівності такого типу для поліномів і сплайнів.
Посилання
1. М. П. Корнійчук, В. Ф. Бабенко, В. А. Кофанов, С. А. Пічугов, Нерівності для похідних та їх застосування, Наукова думка, Київ (2003) [рос.].
2. V. F. Babenko, Investigations of Dnepropetrovsk mathematicians related to inequalities for derivatives of periodic functions and their applications, Ukr. Math. J., 52, № 1, 8–28 (2000). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02514133
3. M. K. Kwong, A. Zettl, Norm inequalities for derivatives and differences, Springer–Verlag, Berlin (1992). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0090864
4. V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Comparison of exact constants in inequalities for derivatives of functions defined on the real axis and a circle, Ukr. Math. J., 55, № 5, 699–711 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/B:UKMA.0000010250.39603.d4
5. B. Bojanov, N. Naidenov, An extension of the Landau–Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdös, J. Anal. Math., 78, 263–280 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02791137
6. P. Erdös, Open problems, in: Open Problems in Approximation Theory, B. Bojanov (ed.), SCT Publishing, Singapur (1994), p. 238–242.
7. V. A. Kofanov, Inequalities for nonperiodic splines on the real axis and their derivatives, Ukr. Math. J., 66, № 2, 242–252 (2014). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-014-0926-7
8. A. Pinkus, O. Shisha, Variations on the Chebyshev and $L^q$ theories of best approximation, J. Approx. Theory, 35, № 2, 148–168 (1982). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(82)90033-8
9. V. A. Kofanov, On some extremal problems of different metrics for differentiable functions on the axis, Ukr. Math. J., 61, № 6, 908–922 (2009). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-009-0254-5
10. V. A. Kofanov, Some extremal problems of various metrics and sharp inequalities of Nagy–Kolmogorov type, East J. Approx., 16, № 4, 313–334 (2010).
11. V. A. Kofanov, Sharp upper bounds of norms of functions and their derivatives on classes of functions with given comparison function, Ukr. Math. J., 63, № 7, 1118–1135 (2011). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-011-0567-z
12. V. A. Kofanov, Bojanov–Naidenov problem for functions with asymmetric restrictions for the higher derivative, Ukr. Math. J., 71, № 3, 419–434 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-019-01655-2
13. V. A. Kofanov, Inequalities for derivatives of functions on an axis with nonsymmetrically bounded higher derivatives, Ukr. Math. J., 64, № 5, 721–736 (2012). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-012-0674-5
14. V. A. Kofanov, Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions and Erdös problem for polynomials and splines, Ukr. Math. J., 75, № 2, 206–224 (2023). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-023-02194-7
15. V. A. Kofanov, Relationship between the Bojanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities, Ukr. Math. J., 76, № 3, 443–452 (2024). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-024-02330-x
16. V. A. Kofanov, Bojanov–Naidenov problem and Kolmogorov-type inequalities for positive (negative) parts of functions, Res. Math., 33, № 2 (2025) (accepted for publication). DOI: https://doi.org/10.15421/242516
17. V. A. Kofanov, On the relationship between sharp Kolmogorov-type inequalities and sharp Kolmogorov–Remez-type inequalities, Ukr. Math. J., 73, № 4, 592–600 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-021-01945-8
18. E. Nursultanov, S. Tikhonov, A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials, Constr. Approx., 38, 101–132 (2013). DOI: https://doi.org/10.1007/s00365-012-9172-0
19. S. Tikhonov, P. Yuditskiǐ, Sharp Remez inequality, Constructive Approximation, 52, 233–246 (2020). DOI: https://doi.org/10.1007/s00365-019-09473-2
20. V. A. Kofanov, Sharp Remez-type inequalities for differentiable periodic functions, polynomials, and splines, Ukr. Math. J., 68, № 2, 253–268 (2016). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-016-1222-5
21. V. A. Kofanov, Sharp Remez-type inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, polynomials, and splines, Ukr. Math. J., 69, № 2, 205–223 (2017). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-017-1357-z
22. A. E. Gaidabura, V. A. Kofanov, Sharp Remez-type inequalities of various metrics in the classes of functions with given comparison function, Ukr. Math. J., 69, № 11, 1710–1726 (2017). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-018-1465-4
23. V. A. Kofanov, Sharp Kolmogorov–Remez-type inequalities for periodic functions of low smoothness, Ukr. Math. J., 72, № 4, 555–567 (2020). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-020-01800-2
24. V. A. Kofanov, I. V. Popovich, Sharp Remez-type inequalities of various metrics with asymmetric restrictions imposed on the functions, Ukr. Math. J., 72, № 7, 1068–1079 (2020). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-020-01844-4
25. V. A. Kofanov, T. V. Olexandrova, A sharp Remez-type inequality estimating the $L_q$-norm of a function by its $L_p$-norm, Ukr. Math. J., 74, № 5, 635–649 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-022-02097-z
26. V. A. Kofanov, Bojanov–Naidenov problem for differentiable functions on the real line and inequalities of various metrics, Ukr. Math. J., 71, № 6, 896–911 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-019-01687-8
27. V. A. Kofanov, Inequalities of different metrics for differentiable periodic functions, Ukr. Math. J., 67, № 2, 230–242 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-015-1076-2
28. V. A. Kofanov, Bojanov–Naidenov problem and the Kolmogorov-type inequalities for functions on the real axis, Ukr. Math. J., 77, № 1, 12–27 (2025). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-025-02439-7
29. А. М. Колмогоров, Про нерівності між верхніми гранями послідовних похідних функції на нескінченному інтервалі, Вибрані праці. Математика, механіка, Наука, Москва (1985), с. 252–263 [рос.].
30. М. П. Корнейчук, В. Ф. Бабенко, А. О. Лигун, Екстремальні властивості поліномів і сплайнів, Наукова думка, Київ (1992) [рос.].
31. V. F. Babenko, V. A. Kofanov, S. A. Pichugov, Comparison of rearrangements and Kolmogorov–Nagy type inequalities for periodic functions, in: Approximation Theory: a Volume Dedicated to Blagovest Sendov, B. Bojanov (ed.), Darba, Sofia, 24–53 (2002).
