A parallel transport frame field approach to soliton surfaces associated with the Betchov–Da Rios equation in four space

Анотація

УДК 514.752, 514.748

Солітонні поверхні, породжені рівнянням Бетчова–Да Ріоса в чотиривимірному просторі: підхід репера паралельного перенесення

Досліджено геометричні властивості солітонної поверхні $\Psi=\Psi(s,t),$ що відповідає рівнянню Бетчова–Да Ріоса в чотиривимірному евклідовому просторі, з використанням репера паралельного перенесення. Одержано формули диференціювання для репера паралельного перенесення кривої $\Psi=\Psi(s,t),$ параметризованої натуральним параметром $s,$ для всіх значень $t.$ Знайдено два основні геометричні інваріанти солітонної поверхні $k$ та $h,$ а також інші важливі інваріанти, зокрема гауссову кривину, вектор середньої кривини та гауссове кручення. За допомогою цих інваріантів доведено низку теорем, що описують умови, за яких солітонна поверхня є плоскою, мінімальною, напівумбілічною або ідеальною за Вінтгеном (суперконформною). Крім того, наведено теорему, яка характеризує еліпс кривини солітонної поверхні Бетчова–Да Ріоса щодо репера паралельного перенесення в $E^{4}.$ Насамкінець побудовано приклад солітонної поверхні Бетчова–Да Ріоса, обчислено її геометричні інваріанти та наведено її проєкції у тривимірний простір для ілюстрації одержаних теоретичних результатів.