Про уточнені порядок і нижній порядок мероморфних функцій

Анотація

Для функції $\Gamma(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\gamma(t)}{t}dt\right\},$ $\gamma(r)$ – уточнений порядок, одержано зображення $\Gamma(r)=r^{\gamma(r)}L(r),$ де $L(r)$ – повільно змінна на $[1,+\infty)$ функція, тобто $rL'(r)/L(r)\to 0$ при $r\to+\infty.$ Побудовано уточнені порядок $\rho(r)$ і нижній порядок $\lambda(r)$ мероморфної в $\mathbb{C}$ функції $f$ такі, що $\underline{\Delta}(D)=\varliminf_{r\to+\infty}T(r,f)/D(r)>0$ і $\overline{\Delta}(H)=\varlimsup_{r\to+\infty}T(r,f)/H(r)=+\infty$ або $\underline{\Delta}(D)=0$ і $\overline{\Delta}(H)<+\infty,$ де $D(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\rho(t)}{t}dt\right\}$ і $H(r)=\exp\left\{\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\lambda(t)}{t}dt\right\}.$ Отримані результати показують хибність тверджень леми 1 і теореми 1 зі статті  [S. H. Dwivedi,  Compos. Math., 22, No. 1, 39–48 (1970)]. Також узагальнено твердження леми 2 зі згаданої статті, а саме: якщо функція $\phi(r)$ така, що $r\phi'(r)/\phi(r)\to\phi_0$ при $r \to +\infty,$ то $\displaystyle\int\nolimits_1^r\dfrac{\phi(t)}{t^{1+\alpha}}dt \sim \dfrac{\phi(r)}{(\phi_0-\alpha)r^\alpha}$ для $0 \le \alpha < \phi_0$ і $\displaystyle\int\nolimits_r^{+\infty}\dfrac{\phi(t)}{t^{1+\alpha}}dt \sim \dfrac{\phi(r)}{(\alpha-\phi_0)r^\alpha}$ для $\alpha > \phi_0$ при $r \to +\infty.$