$q$-Analogs of $\pi$-related formulas from Jackson's $_8\phi_7$-series via the inversion approach
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i5-6.9405Ключові слова:
Basic hypergeometric series;, Bisection series; Jackson’s formula for well–poised 8phi7-series, Duplicate inversions, Triplicate inversion, Ramanujan–like pi-related series, Guillera’s infinite series for 1/pi^2Анотація
УДК 517.588, 517.52
$q$-Аналоги формул, що пов'язані з $\pi$ для $_8\phi_7$-рядів Джексона за допомогою методу обернення
З використанням мультиплікативної форми розширених обернених рядів Карліца встановлено дві загальні ``подвійні'' теореми щодо формули сумування Джексона для добре врівноважених $_8\phi_7$-рядів. Досліджено їхні подвоєні форми за схемою розбиття $n = \Big\lfloor\dfrac{n}{2}\Big\rfloor + \Big\lfloor\dfrac{n+1}{2}\Big\rfloor,$ що призводить до численних тотожностей для $q$-рядів, граничні випадки яких при $q\to1$ відтворюють класичні ряди Рамануджана, пов'язані з $\pi,$ зі швидкістю збіжності "$\dfrac1{16}$", включаючи ряд для $1/\pi^2,$ відкритий Гільєрою (2003). Триплікатні подвійні формули за схемою розбиття $n = \Big\lfloor\dfrac{n}{3}\Big\rfloor + \Big\lfloor\dfrac{n+1}{3}\Big\rfloor + \Big\lfloor\dfrac{n+2}{3}\Big\rfloor$ досліджено за допомогою "методу зворотної бісекції", що дозволяє отримати двадцять нових тотожностей для $q$-рядів разом із їхніми класичними аналогами зі швидкістю збіжності "$\dfrac{-1}{27}$" при $q\to1.$
Посилання
The full version of this paper will be published in Ukrainian Mathematical Journal, Vol. 78, No. 5-6, 2026.
