Geometric properties of a generalized linear operator acting on univalent functions

Анотація

УДК 517.53

Геометричні властивості узагальненого лінійного оператора, що діє на однолистних функціях

Нехай \(f\) – аналітична та однолистна функція у відкритому одиничному диску \(\mathbb{D}\), що належить до підкласів зіркоподібних, опуклих або майже опуклих функцій. Для параметрів \(\alpha, \beta \in [0,1]\) за умови \(\alpha + \beta \le 1\) введено функцію \[g_{\alpha,\beta}(z) = (1-\alpha-\beta)f(z) + (\alpha+\beta) z f'(z), \] яка відображає комбінацію типу ``опуклий середній''  між оператором тотожності та класичним диференціальним оператором. Досліджено умови, за яких функція \(g_{\alpha,\beta}(z)\), породжена узагальненим лінійним оператором, зберігає геометричні властивості вихідної функції \(f\), зокрема щодо радіусних задач, пов'язаних із однолистністю та поведінкою деформації. Наведено явні межі радіуса з використанням класичних аналітичних методів. Крім того, застосовано чисельні експерименти за допомогою штучного інтелекту для перевірки точності теоретичних результатів та ілюстрації залежності радіусних функцій від параметрів \(\alpha\) і \(\beta\). Наведено характерні чисельні значення та графічні візуалізації.