Перша крайова задача на півосі для рівняння ізотропної супердифузії порядку, більшого за одиницю
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i5-6.9437Ключові слова:
Fractional Laplacian, Riesz fractional derivative operator, random Levy processes, Dirichlet boundary value problem, isotropic superdiffusion equationАнотація
УДК 517.95, 517.983, 519.21
Для одновимірного рівняння ізотропної супердифузії порядку $\alpha\in(1;2)$ на півосі досліджується задача Діріхле. Методом відображення знайдено аналітичні розв'язки цієї задачі в класах неперервних гельдерових функцій, які можуть мати інтегровну особливість за часом. З'ясовано ймовірнісний зміст розв'язків задачі та доведено єдиність її регулярного розв'язку у випадку нескінченного часового проміжку.
Посилання
1. B. Baeumer, M. Kovacs, M. Meerschaert, H. Sankaranarayanan, Reprint of: boundary conditions for fractional diffusion, J. Comput. Appl. Math., 339, 414–430 (2018); DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2018.03.007.
2. W. Bu, Y. Tang, Y. Wu, J. Yang, Finite difference/finite element method for two-dimensional space and time fractional Bloch–Torrey equations, J. Comput. Phys., 293, 264–279 (2015); DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2014.06.031.
3. C. Bucur, E. Valdinoci, Nonlocal diffusion and applications, Lect. Notes Unione Mat. Ital., 20, Springer, Berlin (2016); DOI: doi:10.1007/978-3-319-28739-3.
4. L. Brasco, E. Lindgren, M. Stromqvist, Continuity of solutions to a nonlinear fractional diffusion equation, J. Evol. Equat., 21, 4319–4381 (2021); https://doi.org/10.1007/s00028-021-00721-2.
5. N. Cusimano, K. Burrage, I. Turner, D. Kay, On reflecting boundary conditions for space-fractional equations on a finite interval: Proof of the matrix transfer technique, Appl. Math. Model., 42, 554–565 (2017); DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2016.10.021.
6. S. Eidelman, S. Ivasyshen, A. Kochubei, Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type, Oper. Theory Adv. Appl., 152, Birkhäuser Verlag, Basel (2004).
7. L. Feng, I. Turner, T. Moroney, F. Liu, Fractional potential: A new perspective on the fractional Laplacian problem on bounded domains, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 125, 1–28 (2023); DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2023.107368.
8. O. C. Ibe, Markov processes for stochastic modeling, 2nd ed., Elsevier, Amsterdam (2013); DOI: doi.org/10.1016/C2012-0-06106-6.
9. J. Kelly, H. Sankaranarayanan, M. Meerschaert, Boundary conditions for two-sided fractional diffusion, J. Comput. Phys., 376, 1089–1107 (2019); DOI: https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.10.010.
10. V. P. Knopova, Some generators of $L_p$-sub-Markovian semigroups in the half-space $R^{n+1}_{0+}$, PhD Thesis, University of Wales Swansea (2003).
11. V. P. Knopova, A. N. Kochubei, A. M. Kulik, Parametrix methods for equations with fractional Laplacians. vol. 2, Fractional Differential Equations, De Gruyter, Boston (2019), pp. 267–298; DOI: doi.org/10.1515/9783110571660-013.
12. А. Н. Кочубей, Параболічні псевдодиференціальні рівняння, гіперсингулярні інтеграли та марковські процеси, Вісн. АН СРСР. Сер. мат., 52, № 5, 909–934 (1988) [рос.].
13. A. Krageloh, Feller semigroups generated by fractional derivatives and pseudo-differential operators, PhD Thesis, Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg (2001).
14. V. A. Litovchenko, The Cauchy problem and distribution of local fluctuations of one Riesz gravitational field, Fract. Calc. Appl. Anal., 25, 668–686 (2022); DOI: https://doi.org/10.1007/s13540-022-00034-2.
15. V. A. Litovchenko, Classical solutions of the equation of local fluctuations of Riesz gravitational fields and their properties, Ukr. Math. J., 74, 69–86 (2022); DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-022-02048-8.
16. V. A. Litovchenko, Local polya fluctuations of Riesz gravitational fields and the Cauchy problem, Carpathian Math. Publ., 15, 222–235 (2023); DOI: https://doi.org/10.15330/cmp.15.1.222-235.
17. D. Monroy, E. Raposo, Solution of the space-fractional diffusion equation on bounded domains of superdiffusive phenomena, Phys. Rev. E, 110, № 5, 1–22 (2024); DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevE.110.054119.
18. M. Osypchuk, M. Portenko, On the third initial-boundary value problem for some class of pseudo-differential equations related to a symmetric $α$-stable process, J. Pseudo-Differ. Oper. Appl., 9, № 3, 811–835 (2018); DOI: 10.1007/s11868-017-0210-3.
19. A. Reynolds, Liberating L'evy walk research from the shackles of optimal foraging, Phys. Life Rev., 14, 59–83 (2015).
20. S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Fractional integrals and derivatives: theory and applications, Gordon and Breach Science Publ., Yverdon (1993).
21. H. Sun, Y. Zhang, W. Chen, D. Reeves, Use of a variable-index fractional-derivative model to capture transient dispersion in heterogeneous media, J. Contam. Hydrol., 157, 47–58 (2014); DOI: https://doi.org/10.1016/j.jconhyd.2013.11.002.
22. H. Sun, Y. Zhang, D. Baleanu, W. Chen, Y. Chen, A new collection of real world applications of fractional calculus in science and engineering, Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 64, 213–231 (2018); DOI: https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2018.04.019.
23. K. Taira, On the existence of Feller semigroup with boundary conditions, Mem. Amer. Math. Soc., 475, 131–148 (1992).
24. H. Triebel, Interpolation theory, function spaces, differential operators, North Holland Mathematical Library, 18, North Holland Publishing Company, Amsterdam, New York (1978).
25. В. В. Учайкін, Метод дробових похідних, Артишок, Ульяновськ (2008) [рос.].
26. V. Uchaikin, R. Sibatov, Fractional kinetics in space: anomalous transport models, World Scientific, Singapore (2017); DOI: https://doi.org/10.1142/10581.
27. G. M. Viswanathan, V. Afanasyev, S. V. Buldyrev, et al., Lévy flights in random searches, Phys. A, 282, № 1-2, 1–12 (2000); DOI: doi.org/10.1016/S0378-4371(00)00071-6.
28. Q. Yang, F. Liu, I. Turner, Numerical methods for fractional partial differential equations with Riesz space fractional derivatives, Appl. Math. Model., 34, № 1, 200–218 (2010); DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2009.04.006.
29. Y. Zhang, X. Yu, X. Li, et al., Impact of absorbing and reflective boundaries on fractional derivative models: Quantification, evaluation and application, Adv. Water Resour., 128, 129–144 (2019); DOI: https://doi.org/10.1016/j.advwatres.2019.02.011.
30. A. Zoia, A. Rosso, M. Kardar, Fractional Laplacian in bounded domains, Phys. Rev. E., 76(2), 11–34 (2007); DOI: 10.1103/PhysRevE.76.021116.
31. В. Н. Золотарьов, Одновимірні стаціонарні розподіли, Наука, Москва (1983) [рос.].
