Entire solutions of a differential-difference equation of certain type and the differential-difference analog of the Brück conjecture

Анотація

УДК 517.53; 517.92

Цілі розв’язки диференціально-різницевого рівняння певного типу та диференціально-різницевий аналог гіпотези Брюка

Знайдено точний вигляд цілих функцій скінченного порядку, які є розв'язками диференціально-різницевого рівняння \begin{align*}f^{(k)}(z)= \sum^n_{j=0} a_j f(z+jc),\end{align*} таких, що показник збіжності нулів функції $f(z)$ є меншим за її порядок, де $a_0, a_1,\ldots,a_n\,({\neq\,} 0)\in\mathbb{C}.$ Крім того, досліджено диференціально-різницевий аналог гіпотези Брюка та отримано результат про єдиність цілої функції скінченного порядку $f(z),$ яка має малу функцію, виняткову за Борелем щодо $f(z),$ якщо $f^{(k)}(z)$ і $\displaystyle\sum\nolimits^n_{j=0} a_j f(z+jc)$ мають спільну малу функцію щодо $f(z).$ Отримані результати суттєво узагальнюють і посилюють результати Лю та Дуна [Bull. Korean Math. Soc., 51 (5), 1453–1467 (2014)]. Наведено деякі приклади, які підтверджують необхідність умови (s) в основних результатах.