Неравенства типа Бернштейна для полиномиальных сплайнов в пространстве $L_2$

Анотація

Для $2\pi$-періодичних поліпоміальних сплайнів порядку $r$, мінімального дефекту, з вузлами в точках $k\pi /n, n\in\mathbb{N}$, встановлені точні нерівності

\[||  s^{(l)}  || _{ 2}  \leq \frac{|| \varphi _{n,r}^{(l)} || _{ 2} }{|| \Delta _h^l \varphi _{n, r} || _{ 2} }|| \Delta _h^l s|| _{ 2}  \leq \frac{|| \varphi _{n,r}^{(l)} || _{ 2} }{|| \varphi _{n, r} || _{ 2} }||  s || _{ 2} ,\quad  l = 1, \dots, r - 1,\]

справедливі відповідно при $0<h<\pi/2ln$ і $0<h<\pi/4ln$, де $\varphi_{n,r}$ — $r$-й періодичний інтеграл від функції $\varphi_{n,0}(x)={\rm sign} \, {\rm sin} nx$, а $\Delta_h^lf(x)=\sum_{k=0}^l(-1)^kC_1^kf(x+(l-2k)h)$.