Точные неравенства типа Колмогорова–Ремеза для периодических функций малой гладкости

Анотація

УДК 517.5

Для $r = 2, k = 1$ або $r = 3, k = 1, 2$ та довільних $q, p \geq 1,$ $\beta
\in [0, 2\pi)$ і вимірної за Лебегом множини $B \subset
I_{2\pi} := [-\pi/2, 3\pi/2],$ $\mu B \le \beta,$ доведено точну
нерівність типу Колмогорова–Ремеза
$$
\|f^{(k)}\|_{q}\leq
\frac{\|\varphi_{r-k}\|_{q}}{E_0(\varphi_{r})^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi}
\setminus B_{2m})}}\|f\|^{\alpha}_{L_p(I_{2\pi} \setminus B)}
\big \|f^{(r)} \big \|^{1-\alpha}_{\infty},
\quad f \in L^r_\infty,
$$
із показником $\alpha = \min\{1-k/r, (r-k + 1/q)/(r + 1/p)\},$ де $\varphi_r $  — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r,$ $E_0(f)_{L_p(G)}$ — найкраще наближення константами функції $f$ у просторі $L_p(G),$ $B_{2 m} = \left[\dfrac{\pi- 2 m}{2}, \dfrac{\pi + 2 m}{2}\right]\!,$ а число $m =
m(\beta) \in [0, \pi)$ однозначно визначене числом $\beta.$

Також отримано точну нерівність типу Колмогорова–Ремеза, що враховує число змін знаку похідних.