Про слабко $(n-1)$-опуклi множини в маловимiрних евклiдових просторах
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i7-8.9669Ключові слова:
опукла множина, слабко 1-опукла множина, множина точок 1-неопуклості, слабко 2-опукла множина, множина точок 2-неопуклості, дійсний евклідовий простірАнотація
УДК 514.172
Досліджено властивості узагальнено опуклих множин у дійсному $n$-вимірному евклідовому просторі $\mathbb{R}^n,$ $n=2,3,$ відомих як слабко $(n-1)$-опуклі. Відкрита множина в $\mathbb{R}^2$ ($\mathbb{R}^3$) називається слабко $1$-опуклою (слабко $2$-опуклою), якщо через кожну точку межі множини проходить пряма (площина), яка не перетинає заданої множини. Точка доповнення множини в $\mathbb{R}^2$ ($\mathbb{R}^3$) до всього простору називається точкою $1$-неопуклості (точкою $2$-неопуклості) цієї множини, якщо кожна пряма (кожна площина), яка проходить через цю точку, перетинає множину. Показано, що будь-яка компонента множини точок $1$-неопуклості, яка відповідає плоскій слабко $1$-опуклій множині, – це внутрішність опуклого багатокутника або внутрішність опуклого узагальненого багатокутника. Доведено, що множина точок $2$-неопуклості, яка відповідає відкритій слабко $2$-опуклій множині в $\mathbb{R}^3,$ відкрита і слабко $2$-опукла. Також досліджено деякі властивості опуклості множин точок $2$-неопуклості, які відповідають слабко $2$-опуклим множинам у $\mathbb{R}^3$.
Посилання
1. K. Leichtweiss, Konvexe Mengen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1980).
2. Ю. Б. Зелінський, І. В. Момот, Про $(n, m)$-опуклі множини, Укр. мат. журн., 53, № 3, 422–427 (2001) [рос.]; English translation: Ukr. Math. J., 53, 482–487 (2001).
3. Х. К. Дахіл, Задачі про тінь та відображення постійної кратності, Дис. ... канд. фіз.-мат. наук, Інститут математики НАН України, Київ (2017).
4. T. M. Osipchuk, On closed weakly $m$-convex sets, Proc. Int. Geom. Cent., 15, № 1, 50–65 (2022).
5. T. M. Осіпчук, Топологічні властивості слабко $m$-опуклих множин, Праці Ін-ту прикл. математики і механіки НАН України, 34, 75–84 (2020).
6. Т. М. Осіпчук, Топологічні та геометричні властивості множини точок $1$-неопуклості слабко $1$-опуклої множини на площині, Укр. мат. журн., 73, № 12, 1657–1672 (2021); English translation: Ukr. Math. J., 73, № 12, 1918–1936 (2022).
7. T. M. Osipchuk, M. V. Tkachuk, On weakly $1$-convex sets in the plane, Proc. Int. Geom. Cent., 16, № 1, 42–49 (2023).
8. T. M. Osipchuk, Topological and geometric properties of 1-nonsemiconvexity-point sets corresponding to open weakly 1-semiconvex subsets of the plane, Укр. мат. вісн., 21, № 3, 385–417 (2024); English translation: J. Math. Sci., 285, № 5, 707–731 (2024).
