Exact controllability and stability analysis for implicit fractional differential equations

Анотація

УДК 517.9; 517.97

Точна керованість і аналіз стійкості неявних дробово-диференціальних рівнянь

Проведено всебічний аналіз неявних дробових диференціальних рівнянь вигляду $$\mathcal{D}_{C}^\rho w(x)=f\big(x, w(x), \mathcal{D}_{C}^\rho w(x), u(x)\big)$$ де $\mathcal{D}_{C}^\rho$ – похідна Капуто, а $u(x)$ – керування. За мінімальних припущень, що легко перевіряються, досліджено три основні задачі:  існування розв'язків, точну керованість і стійкість за Уламом–Гаєрсом. Для врахування неявної структури рівняння встановлено лему про еквівалентність, яка зводить досліджувану систему до коректно поставленого інтегрально-функціонального рівняння, що дає змогу застосувати методи теорії нерухомої точки. Отримано такі основні результати: (i) доведено існування та єдиність розв'язків за допомогою норми Белецького без накладання додаткових обмежень, зокрема щодо констант стиску; (ii) встановлено точну керованість методом нерухомої точки та побудовано явні керування, які переводять систему до довільного заданого кінцевого стану; (iii) отримано результати про стійкість за Уламом–Гаєрсом із явними оцінками похибки, що встановлені безпосередньо за допомогою зважених норм без уведення додаткових припущень. Усі результати об'єднано в межах чітко сформульованих умов Ліпшиця та умов зростання, що забезпечує широку сферу їхнього застосування.