Про квантові симетрії графів
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i5-6.9774Ключові слова:
квантовиф граф, квантовий автоморфізм, нелокальна граАнотація
УДК 519.17, 517.98, 519.8
Нехай $G$ – скінченний простий граф, а $\mathcal U_G$ – відповідний квантовий граф. Вивчено алгебру гри $C(\mathrm{Qut}(\mathcal U_G))$ для квантових автоморфізмів $\mathcal U_G.$ Показано, що для повного графа $K_n$ алгебра $C(\mathrm{Qut}(\mathcal U_{K_n}))$ не комутативна вже при $n\geq 3$ на відміну від $C(\mathrm{Qut}(K_n)) = C(S_n^+).$ Крім цього, доведено, що для довільного графа $G$ з $|V(G)|\geq 3$ квантовий граф $\mathcal U_G$ допускає нелокальну симетрію, тобто для гри квантових автоморфізмів для $\mathcal U_G$ існує досконала квантова безсигнальна кореляція, яка не є локальною.
Посилання
1. A. Atserias, L. Mančinska, D. E. Roberson, et al., Quantum and non-signalling graph isomorphisms, J. Combin. Theory, Ser. B, 136, 289–328 (2019).
2. T. Banica, Le groupe quantique compact libre ${U}(n)$, Comm. Math. Phys., 190, № 1, 143–172 (1997).
3. T. Banica, Symmetries of a generic coaction, Math. Ann., 314, № 4, 763–780 (1999).
4. T. Banica, Quantum automorphism groups of homogeneous graphs, J. Funct. Anal., 224, 243–280 (2005).
5. T. Banica, J. Bichon, B. Collins, Quantum permutation groups: a survey, Noncommutative harmonic analysis with applications to probability, Banach Center Publ., vol. 78, Polish Academy of Sciences, Institute of Mathematics, Warsaw (2007), pp. 13–34.
6. M. Brannan, S. J. Harris, I. G. Todorov, L. Turowska, Quantum no-signalling bicorrelations, Adv. Math., 449, Paper № 109732 (2024).
7. R. Duan, A. Winter, No-signalling assisted zero-error capacity of quantum channels and an information theoretic interpretation of the Lovász number, IEEE Trans. Inform. Theory, 62, № 2, 891–914 (2016).
8. M. B. Fulton, The quantum automorphism group and undirected trees, Ph.D. Thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University (2006).
9. M. Lupini, L. Mančinska, D. E. Roberson, Nonlocal games and quantum permutation groups, J. Funct. Anal., 279, № 5, 108592 (2020).
10. L. Mančinska, V. I. Paulsen, I. G. Todorov, A. Winter, Products of synchronous games, Studia Math., 272, № 3, 299–317 (2023).
11. V. I. Paulsen, M. Rahaman, Bisynchronous games and factorizable maps, Ann. Henri Poincaré, 22, № 2, 593–614 (2021).
12. V. I. Paulsen, S. Severini, D. Stahlke, I. G. Todorov, A. Winter, Estimating quantum chromatic numbers, J. Funct. Anal., 270, № 6, 2188–2222 (2016).
13. D. E. Roberson, S. Schmidt, Quantum symmetry vs nonlocal symmetry}; arXiv:2012.13328v2 [math.QA] (2021).
14. I. G. Todorov, L. Turowska, Quantum no-signalling correlations and non-local games, Comm. Math. Phys., 405, № 6, Paper № 141 (2024).
15. C. Voigt, {On the structure of quantum automorphism groups}, J. Reine Angew. Math., 732, 255–273 (2017).
16. S. Wang, Quantum symmetry groups of finite spaces, Comm. Math. Phys., 195, 195–211 (1998).
17. M. Weber, Quantum permutation matrices, Complex Anal. Oper. Theory, 17, № 3, Paper № 37 (2023).
