2-Local ring derivations on nest algebras determined through rank-one operators

Анотація

УДК 517.98; 512.55

2-Локальні кільцеві диференціювання алгебр гнізд, визначені за допомогою операторів першого рангу

Локальні та 2-локальні диференціювання є природним послабленням поняття диференціювання, яке ґрунтовно досліджено в $C^{*}$-алгебрах і несамоспряжених операторних алгебрах. Для алгебри гнізд $\mathfrak{A}=\mathrm{Alg\,}\mathscr{N}\!,$ що діє в нескінченновимірному гільбертовому просторі, кожне локальне диференціювання є також диференціюванням, якщо правило Лейбніца виконується на всій алгебрі. Нами розроблено кільцево-теоретичне уточнення, за якого припущення локальності накладаються лише на оператори першого рангу. Нехай $\mathfrak{F}$ позначає ідеал операторів скінченного рангу в $\mathfrak{A},$ а $\mathfrak{R}$ – множину операторів першого рангу із $\mathfrak{F}.$ Адитивне відображення $\Delta\colon\mathfrak{A}\to\mathfrak{A}$ називається диференціюванням першого рангу 2-локального типу (відповідно диференціюванням першого рангу локального типу), якщо для кожної пари $R_1,R_2\in\mathfrak{R}$ (відповідно для кожного $R\in\mathfrak{R}$) існує кільцеве диференціювання $D_{R_1,R_2}$ (відповідно $D_R$) на $\mathfrak{A}$ таке, що $\Delta(R_j)=D_{R_1,R_2}(R_j)$ для $j=1,2$ (відповідно $\Delta(R)=D_R(R)$). Доведено, що якщо $\Delta$ є адитивним диференціюванням першого рангу та 2-локального типу, яке переводить $\mathfrak{F}$ у себе, то $\Delta$ є комплексно-лінійним диференціюванням на всій алгебрі $\mathfrak{A}$ і, отже, внутрішнім. Крім того, кожне внутрішнє диференціювання $\mathfrak{A}$ є в цьому розумінні диференціюванням першого рангу та локального типу і повністю визначається, з точністю до центральних збурень, своїми значеннями на $\mathfrak{R}.$ Доведення ґрунтується на структурі операторів першого рангу  в алгебрах гнізд, істотності ідеалу $\mathfrak{F}$ і ретельному порівнянні породжувальних диференціювань, пов'язаних із різними обмеженнями на оператори першого рангу. Також встановлено стійкість цих результатів щодо просторових ізоморфізмів та ізоморфізмів кілець Лі між алгебрами гнізд.