Про логарифмічне зростання цілих рядів за системою функцій

Анотація

УДК 517.537

Розглянуто ряд $A(z)=\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}a_nf(\lambda_n z)$ за системою $\{f(\lambda_nz)\},$ де $f$ – ціла трансцендентна функція, а $(\lambda_n)$ – зростаюча до $+\infty$ послідовність додатних чисел. Припустимо, що ряд регулярно збігається в $\Bbb C,$ тобто $\mathfrak{M}(r,A)=\displaystyle\sum\nolimits_{n=1}^{\infty}|a_n|M_f(r\lambda_n)<+\infty$ для $r\in[0,+\infty),$ де $M_f(r)=\max\{|f(z)|\colon |z|=r\}.$ Логарифмічні порядок $\varrho_{\ln}[A]$ і тип $T_{\ln}[A]$ визначено формулами $\varrho_{\ln}[A]=\varlimsup_{r\to+\infty}\dfrac{\ln \ln \mathfrak{M}(r,A)}{\ln \ln r},$ $T_{\ln}[A]=\varlimsup_{r\to+\infty} \dfrac{\ln \mathfrak{M}(r,A)}{\ln^{\varrho_{\ln}[A]}r}.$ Замінюючи в цих формулах $\varlimsup$ на $\varliminf,$ отримуємо означення нижніх логарифмічних порядку і типу. Знайдено формули для обчислення зазначених характеристик за допомогою коефіцієнтів $a_n.$ У термінах двочленної степеневої асимптотики досліджено зв'язок між зростанням $\ln \mathfrak{M}(r,A)$ і спаданням коефіцієнтів $a_n.$