Вибух і вхід із нескінченності випадкових блукань народження та загибелі з неперервним часом
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i9-10.9970Ключові слова:
continuous-time random walk, semi-Markov process, explosion, implosion, exit boundary, entrance boundaryАнотація
УДК 519.21
Встановлено необхідні та достатні умови вибуху та входу з нескінченності для немарковських випадкових блукань народження та загибелі з неперервним часом. Іншими словами, одержано умови досяжності нескінченності та умови, за яких нескінченність є точкою входу. Виведено аналітичні критерії регулярності в термінах, відповідних функції шкали та міри швидкості, які виражаються через ймовірності переходу та перетворення Лапласа часів очікування між стрибками. Показано, що за своєю структурою ці критерії близькі до класичних умов для дифузій і марковських процесів народження та загибелі. Обчислено явні умови регулярності для напівмарковських процесів із часами очікування, що мають: а) скінченні перші моменти; б) регулярно змінні хвости (зокрема, $\alpha$-стійкий розподіл).
Посилання
1. P. Lévy, Processus semi-markoviens, Proc. Int. Congr. Math., 3, 416–426 (1954).
2. W. L. Smith, Regenerative stochastic processes, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 232, 6–31 (1955).
3. M. Meerschaert, A. Sikorskii, Stochastic models for fractional calculus, Walter de Gruyter, Berlin, Boston (2019).
4. R. Metzler, J. Klafter, The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach, Phys. Rep., 339, № 1, 1–77 (2000).
5. E. Barkai, R. Metzler, J. Klafter, From continuous time random walks to the fractional Fokker–Planck equation, Phys. Rev. E, 61, № 1, 132–138 (2000).
6. V. M. Shurenkov, Markov intervention of chance, and limit theorems, Math. USSR-Sb., 54, № 1, 161–186 (1986).
7. V. M. Shurenkov, Ergodic Markov processes, Probab. Theory Math. Statist., Nauka, Moscow (1989).
8. W. Feller, The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations, Ann. of Math. (2), 55, 468–519 (1952).
9. W. Feller, Generalized second order differential operators and their lateral conditions, Illinois J. Math., 1, 459–504 (1957).
10. W. Feller, The birth and death processes as diffusion processes, J. Math. Pures Appl. (9), 38, 301–345 (1959).
11. K. Itô, H. P. McKean (Jr.), Diffusion processes and their sample paths, Springer-Verlag, Berlin, New York (1974).
12. E. B. Dynkin, A. A. Yushkevich, Markov processes: theorems and problems, Plenum Press, New York (1969).
13. K. L. Chung, Markov chains with stationary transition probabilities, Springer-Verlag, New York (1967).
14. W. Feller, On boundaries and lateral conditions for the Kolmogorov differential equations, Ann. of Math. (2), 65, 527–570 (1957).
15. C. Foucart, Continuous-state branching processes with competition: duality and reflection at infinity, Electron. J. Probab., 24, Paper No.~33 (2019).
16. W. Feller, On semi-Markov processes, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 51, 653–659 (1964).
17. R. Gerrard, Regularity conditions for semi-Markov and Markov chains in continuous time, J. Appl. Probab., 20, № 3, 505–512 (1983).
18. M. Menshikov, S. Popov, A. Wade, Non-homogeneous random walks: Lyapunov function methods for near-critical stochastic systems, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2016).
19. S. Karlin, H. M. Taylor, A second course in stochastic processes, Academic Press, New York, London (1981).
20. W. Feller, An introduction to probability theory and its applications. Vol. II, John Wiley & Sons, New York, London, Sydney (1971).
21. N. H. Bingham, C. M. Goldie, J. L. Teugels, Regular variation, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1989).
