On the strong law of large numbers for ϕ-sub-Gaussian random variables

  • K. Zajkowski Inst. Math., Univ. Bialystok, Poland
Ключові слова: ϕ-subgaussian random variables, strong law of large numbers

Анотація

УДК 517.9
Про посилений закон великих чисел для ϕ-субгаусових випадкових величин

Нехай для p1  φp(x)=x2/2, якщо |x|1, і φp(x)=1/p|x|p1/p+1/2, якщо |x|>1.  Для випадкової величини ξ нехай τφp(ξ) позначає inf{a0:λR lnEexp(λξ)φp(aλ)}; τφp --- норма у просторі Subφp={ξ:τφp(ξ)<} φp-субгауссових випадкових величин.  У цій роботі доведено наступне: якщо для послідовності (ξn)Subφp, p>1, існують додатні сталі c і α такі, що для будь-якого натурального числа n виконується нерівність τφp(ni=1ξi)cn1α, то  n1ni=1ξi збігається майже напевно до нуля при n.  Цей результат узагальнює посилений закон великих чисел для незалежних субгауссових випадкових величин [див. R. L. Taylor, T.-C. Hu, Sub-Gaussian techniques in proving strong laws of large numbers, Amer.  Math. Monthly, 94, 295–299 (1987)] у випадку, коли розглядаються залежні φp-субгауссові випадкові величини.

Посилання

K. Azuma, Weighted sums of certain dependent random variables , Tokohu Math. J., 19 , 357 – 367 (1967), https://doi.org/10.2748/tmj/1178243286 DOI: https://doi.org/10.2748/tmj/1178243286

A. Bulinski, A. Shashkin, Limit theorems for associated random fields and related systems , World Sci. Publ. (2007), https://doi.org/10.1142/9789812709417 DOI: https://doi.org/10.1142/9789812709417

V. Buldygin, Yu. Kozachenko, Metric Characterization of Random Variables and Random Processes , Amer.Math.Soc., Providence, RI, (2000), https://doi.org/10.1090/mmono/188 DOI: https://doi.org/10.1090/mmono/188

V. Buldygin, Yu. Kozachenko, sub-Gaussian random variables , Ukrainian Math. J. 32 , 483 – 489 (1980). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01087176

R. Giuliano Antonini, Yu. Kozaczenko, A. Volodin, Convergence of series of dependent φ -sub-Gaussian random variables , J. Math. Anal. Appl. 338, 1188 – 1203 (2008), https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.05.073 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.05.073

J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemar´echal, Convex Analysis and Minimization Algorithms. II , Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1993). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02796-7

W. Hoeffding, Probability for sums of bounded random variables , J. Amer. Statist. Assoc., 58 , 13 – 30 (1963). DOI: https://doi.org/10.1080/01621459.1963.10500830

J.P. Kahane, Local properties of functions in terms of random Fourier series (in French) , Stud. Math., 19 , № 1, 1 – 25 (1960), https://doi.org/10.4064/sm-19-1-1-25 DOI: https://doi.org/10.4064/sm-19-1-1-25

R.L. Taylor, T.-C. Hu, Sub-Gaussian techniques in proving strong laws of large numbers , Amer. Math. Monthly, 94 , 295 – 299 (1987), https://doi.org/10.2307/2323401 DOI: https://doi.org/10.2307/2323401

K. Zajkowski, On norms in some class of exponential type Orlicz spaces of random variables , arXiv:1709.02970v2.

Опубліковано
19.03.2021
Як цитувати
Zajkowski, K. «On the Strong Law of Large Numbers for ϕ-Sub-Gaussian Random Variables». Український математичний журнал, вип. 73, вип. 3, Березень 2021, с. 431 -36, doi:10.37863/umzh.v73i3.197.
Розділ
Короткі повідомлення