Сильно статистична збіжність

Анотація

УДК 519.21

Введено поняття $A$-сильно статистичної збіжності для послідовностей комплексних чисел, де $A=\left(a_{nk}\right)_{n,k\in \mathbb{N}}$ --- нескінченна матриця з невід’ємними елементами.
Послідовність $\left(x_{n}\right)$ називається сильно збіжною до $L,$ якщо $\displaystyle{\lim\nolimits_{n\to\infty} \sum\nolimits_{k=1}^{\infty}a_{nk}\left|x_{k}-L\right|=0}$ у звичайному сенсі.
У визначенні $A$-сильно статистичної границі застосовується поняття статистичної границі замість звичайної границі з відповідною щільністю.
Вивчено деякі щільності і показано, що $\left(a_{nk}\right)$-сильно статистична границя --- це $\left(a_{m_{n}k}\right)$-сильна границя, де щільність множини $\left\{m_{n}\in\mathbb{N}\colon n\in\mathbb{N}\right\}$ дорівнює 1.
Введено поняття щільної позитивності для невід'ємних послідовностей.
Невід'ємна послідовність $\left(r_{n}\right)$ є щільно позитивною за умови, що верхня границя підпослідовності $\left(r_{m_{n}}\right)$ є додатною для всіх $\left(m_{n}\right)$ з щільністю, що дорівнює 1.
Показано, що щільна позитивність $\left(r_{n}\right)$ є необхідною та достатньою умовою для єдиності $A$-сильно статистичної границі, де $A=\left(a_{nk}\right)$ та $\displaystyle{r_{n}=\sum\nolimits_{k=1}^{\infty}a_{nk}}.$
Крім того, встановлено необхідні умови регулярності, лінійності та мультиплікативності $A$-сильно статистичної границі.