Schmidt rank and singularities

David Kazhdan; Amichai Lampert; Alexander Polishchuk

doi:10.3842/umzh.v75i9.7227

David Kazhdan Einstein Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem, Israel
Amichai Lampert Einstein Institute of Mathematics, The Hebrew University of Jerusalem, Israel and Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, USA
Alexander Polishchuk Department of Mathematics, University of Oregon, Eugene, USA, National Research University Higher School of Economics and Korea Institute for Advanced Study

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i9.7227

Анотація

УДК 512.5

Ранг Шмідта та сингулярності

Ми знову звертаємося до теореми Шмідта, яка пов'язує ранг Шмідта тензора з корозмірністю певного многовиду, і наводимо доведення, адаптоване до випадку довільної характеристики. Крім того, отримано більш точний результат такого роду для однорідних поліномів за припущення, що характеристика не є дільником степеня. Потім ми використовуємо цей факт, щоб зв’язати ранг Шмідта однорідного полінома (відповідно, колекції однорідних поліномів однакового степеня) з корозмірністю сингулярного локуса відповідної гіперповерхні (відповідно, перетину гіперповерхонь). Це дає ефективну версію теореми Ананяна–Хохстера [J. Amer. Math. Soc., 33, No. 1, 291–309 (2020), Theorem A]

Посилання

K. Adiprasito, D. Kazhdan, T. Ziegler, On the Schmidt and analytic ranks for trilinear forms/em>; arXiv:2102.03659.

T. Ananyan, M. Hochster, Small subalgebras of polynomial rings and Stillman's conjecture, J. Amer. Math. Soc., 33, № 1, 291–309 (2020). DOI: https://doi.org/10.1090/jams/932

T. Ananyan, M. Hochster, Strength conditions, small subalgebras, and Stillman bounds in degree $le 4$, Trans. Amer. Math. Soc., 373, № 7, 4757–4806 (2020). DOI: https://doi.org/10.1090/tran/8060

E. Ballico, A. Bik, A. Oneto, E. Ventura, Strength and slice rank of forms are genericaly equal; arXiv:2102.11549.

E. Ballico, A. Bik, A. Oneto, E. Ventura, The set of forms with bounded strength is not closed; arXiv:2012.01237.

J. M. Boardman, Singularities of differentiable maps, Publ. Math. Inst. Hautes 'Edutes Sci., 33, 383–419 (1967). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02684585

A. D. R. Choudary, A. Dimca, On the dual and Hessian mappings of projective hypersurfaces, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 101, 461–468 (1987). DOI: https://doi.org/10.1017/S0305004100066834

H. Derksen, The $G$-stable rank for tensors; arXiv:2002.08435.

D. Kazhdan, T. Ziegler, On the codimension of the singular locus; arXiv:1907.11750.

S. Kopparty, G. Moshkovitz, J. Zuiddam, Geometric rank of tensors and subrank of matrix multiplication; arXiv:2002.09472.

W. M. Schmidt, The density of integer points on homogeneous varieties, Acta Math., 154, № 3-4, 243–296 (1985). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02392473

F. Zak, Structure of Gauss maps, Funct. Anal. and Appl., 21, 32–41 (1987). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01077983

A. Cohen, G. Moshkovitz, Partition and analytic rank are equivalent over large fields; arXiv:2102.10509.