A quadratic completely integrated Burgers-type nonlinear model: conservation laws and Poisson structures

Authors

  • Ya. Kokovska Ivan Franko National University of Lviv
  • M. Prytula Ivan Franko National University of Lviv

DOI:

https://doi.org/10.3842/umzh.v77i3.8670

Keywords:

нелiнiйна динамiчна система, закони збереження, асимптотичний аналiз, пуассоновi структури, бiгамiльтоновiсть, iнтегровнiсть, рекурсiйний оператор.

Abstract

UDC 517.9

We study the complete integrability of a Burgers-type nonlinear quadratic dynamical system on a functional manifold. For this system, we prove the existence of an infinite hierarchy of functionally independent and involutive conservation laws and determine a compatible pair of Poisson operators, which allows us to rewrite the analyzed system in the bi-Hamiltonian form. We also construct a recursion operator generating an infinite hierarchy of commuting vector fields on a functional manifold.

References

1, H. Tasso, Hamiltonian formulation of odd Burgers hierarchy, J. Phys. A: Math. and Gen., № 29, 7779–7784 (1996). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/29/23/033

2. A. K. Prykarpatsky, I. Y. Mykytiuk, Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems on manifolds: clasical and quantum aspects, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1998). DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-011-4994-5

3. А. К. Прикарпатський, М. М. Притула, О. Є. Гентош, Скінченновимірні редукції узагальненої динамічної системи Бюргерса та їх інтегровність, Нелінійні коливання, 3, № 1, 95–103 (2000).

4. M. Prytula, O. Hentosh, The Hamiltonian nonlocal invariant reduction of a Burgers equation and its Lie-algebraic structure, ZAMM Z. Angew. Math. und Mech., 81, Suppl. 2, 213–214 (2001).

5. М. М. Притула, А. К. Прикарпатський, М. І. Вовк, Про повну інтегровність та лінеаризацію нелінійного рівняння типу Бюргерса–Кортевега–де Фріза, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 51, № 4, 99–102 (2008).

6. А. Кіндибалюк, М. М. Притула, Бігамільтоновість і точні розв'язки узагальненої динамічної системи типу Бюргерса, Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат., вип. 74, 109–121 (2011).

7. D. Blackmore, A. K. Prykarpatsky, E. Özçaǧ, K. Soltanov, Integrability analysis of a two-component Burgers-type hierarchy, Ukr. Math. J., 67, № 2, 147–162 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-015-1072-6

8. I. S. Mykhailiuk, M. M. Prytula, Bi-Hamiltonian structure und exact solution of one Burgers' type nonlinear dynamical system, Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика, вип. 28, 123–138 (2020). DOI: https://doi.org/10.30970/vam.2020.28.10948

9. Н. Н. Боголюбов (мл.), А. К. Прикарпатский, В. Г. Самойленко, Классическая и квантовая вполне интегрируемая динамическая систма типа Шредингера, Киев, 1984. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики, № 84-53).

10. D. Blackmore, A. K. Prykarpatsky, V. H. Samoylenko, Nonlinear dynamical systems of mathematical physics: special and symplectic integrability analysis, World Scientific Publ. Co. (2011); https://doi.org/10.1142/7960|March 2011. DOI: https://doi.org/10.1142/9789814327169

11. Y. A. Prykarpatsky, I. Urbaniak, R. A. Kycia, A. K. Prykarpatski, Dark type dynamical systems: the integrability algorithm and applications. Algorithms, 15, 266 (2022); https://doi.org/10.3390/a15080266. DOI: https://doi.org/10.3390/a15080266

12. A. K. Prykarpatsky, U. Taneri, N. N. Bogoliubov (Jr.), Quantum field theory and application to quantum nonlinear optics, World Sci., New York (2002). DOI: https://doi.org/10.1142/5100

13. А. В. Михайлов, А. В. Шабат, М. И. Ямилов, Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем, Успехи мат. наук, 42, № 4, 3–53 (1987).

14. Ю. А. Митропольский, Н. Н. Боголюбов (мл.), А. К. Прикарпатский, В. Г. Самойленко, Интегрируемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты, Наук. думка, Киев (1987).

15. О. Є. Гентош, М. М. Притула, А. К. Прикарпатський, Диференціально-геометричні та Лі-алгебраїчні основи дослідження інтегровних нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах, Вид-во Львів. ун-ту, Львів (2006).

16. F. Magri, A geometrical approach to the nonlinear solvable equation, Lett. Notes Phys., 120, 233–263 (1980). DOI: https://doi.org/10.1007/3-540-09971-9_40

17. W. Oevel, Poisson brackets for integrable lattice systems, in: Algebraic aspect of integrable systems, Boston (1996), p. 261–283. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2434-1_13

Downloads

Published

07.11.2025

Issue

Vol. 77 No. 3 (2025)

Section

Research articles

License

Copyright (c) 2025 Ya. Kokovska, M. Prytula

Creative Commons License

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

How to Cite

Kokovska, Ya., and M. Prytula. “A Quadratic Completely Integrated Burgers-Type Nonlinear Model: Conservation Laws and Poisson Structures”. Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal, vol. 77, no. 3, Nov. 2025, pp. 187–199, https://doi.org/10.3842/umzh.v77i3.8670.