On solutions of some extreme problems in the classes of mappings defined in a ring
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i7-8.9650Keywords:
quasiconformal mappings, extremal problems, moduli of families of pathsAbstract
UDC 517.548
We consider classes of mappings defined in a domain of the Euclidean space. In terms of the modulus of the families of paths connecting the boundaries of a ring in this domain, we define a certain functional. The maximum of this functional is found under certain restrictions imposed on the analyzed classes.
References
1. J. Väisälä, Lectures on $n$-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math., 229, Springer-Verlag, Berlin etc. (1971).
2. O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer, New York (2009).
3. M. Cristea, The limit mapping of generalized ring homeomorphisms, Complex Var. Elliptic Equat., 61, 608–622 (2016).
4. V. Ryazanov, E. Sevost'yanov, Toward the theory of ring $Q$-homeomorphisms, Israel J. Math., 168, 101–118 (2008).
5. S. Saks, Theory of the integral, Dover Publications, Inc., New York (1964).
6. Р. Р. Салімов, Є. О. Севостьянов, Аналоги леми Ікома–Шварца та теореми Ліувілля для відображень із необмеженими характеристиками, Укр. мат. журн., 63, № 10, 1368–1380 (2011) [рос.]; English translation: Ukr. Math. J., 63, № 10, 1551–1565 (2012).
7. Д. А. Ковтонюк, В. І. Рязанов, До теорії нижніх $Q$-гомеоморфізмів, Укр. мат. вісн., 5, № 2, 159–184 (2008); English translation: Ukr. Math. Bull., 5, № 2, 157–181 (2008).
8. Д. А. Ковтонюк, Р. Р. Салімов, Є. О. Севостьянов, До теорії відображень класів Соболєва та Орлича–Соболєва, за заг. ред. В. І. Рязанова, Наук. думка, Київ (2013) [рос.].
9. T. Iwaniec, G. Martin, Geometrical function theory and non-linear analysis, Clarendon Press, Oxford (2001).
10. E. A. Sevost'yanov, Mappings with Direct and Inverse Poletsky Inequalities, Dev. Math., vol. 78, Springer, Cham (2023).
11. V. Ryazanov, R. Salimov, E. Yakubov, On boundary value problems for the Beltrami equations, Contemp. Math., 591, 211–242 (2013).
12. V. Maz'ya, Sobolev Spaces, Springer-Verlag, Berlin (1985).
