Inverse scattering problem for a hyperbolic system of equations on the semiaxis
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i5-6.9744Keywords:
scattering problem, inverse problem, integral representations of solutions.Abstract
UDC 517.98, 517.95
We study а scattering problem for the hyperbolic systems of first-order differential equations on the semiaxis under the assumption that all solutions exhibit asymptotic behaviors at infinity corresponding either to incident or to scattered waves. The problem is reduced to finding the solution of the system in the case where all incident waves are known together with a certain homogeneous boundary condition. Under these assumptions, the solution exists and is unique. Therefore, we observe the appearance of a scattering operator on the semiaxis, which transforms all incident waves into scattered waves. For a special case in which the numbers of incident and scattered waves are equal, we establish the detailed properties of the scattering operator, including its factorization into Volterra factors of the opposite polarities. This factorization makes it possible to solve the inverse scattering problem on the semiaxis, i.e., to unambiguously reconstruct all potentials in the system according to the two known scattering operators corresponding to two different boundary conditions.
References
1. Ю. М. Березанський, Розклади за власними функціями самоспряжених операторів, Наукова думка, Київ (1965) [рос.]; English translation: Expansion in eigenfunctions of self-adjoint operators, Translations of Mathematical Monographs, vol. 17, AMS, Providence, R.I. (1968).
2. Ю. М. Березанський, М. Є. Дудкiн, Якобiєвi матрицi i проблема моментiв, Iнститут математики НАН України, Київ (2019).
3. Л. П. Нижник, Обернені задачі розсіяння для гіперболічних рівнянь, Наукова думка, Київ (1991) [рос.].
4. Л. П. Нижник, В. Г. Тарасов, Обернена нестаціонарна задача розсіяння для гіперболічної системи рівнянь, Допов. АН СРСР, 233, № 3, 300–303 (1977) [рос.]; English translation:Dokl. Akad. Nauk SSSR, 42, 825–832 (1990).
5. Л. П. Нижник, Обернена нестаціонарна задача розсіяння, Наукова думка, Київ (1973) [рос.].
6. Л. П. Нижник, Н. Ш. Іскендеров, Обернена нестаціонарна задача розсіяння для гіперболічної системи з трьох рівнянь першого порядку на півосі, Укр. мат. журн., 42, № 7, 931–938 (1990) [рос.]; English translation: Ukr. Math. J., 42, № 7, 825–832 (1990);
7. L. Y. Sung, A. S. Fokas, Inverse problem for (N times N) hyperbolic systems on the plane and the (N)-wave interactions, Comm. Pure Appl. Math., 64, 535–571 (1991).
8. Н. Ш. Іскендеров, Обернена задача розсіяння для для гіперболічної системи з (N) рівнянь першого порядку на півосі, Укр. мат. журн., 43, № 12, 1638–1646 (1991) [рос.]; English translation:Ukr. Math. J., 43, № 12, 1524–1532 (1991);
9. Н. Ш. Іскендеров, Нестаціонарні обернені задачі розсіяння для системи гіперболічних рівнянь першого порядку на півосі, Елм, Баку (2000) [рос.].
10. Н. Ш. Іскендеров, Л. Н. Джафарова, Пряма та обернена задачі розсіяння для гіперболічної системи з шести рівнянь першого порядку на піввісі, Праці Інституту математики НАН України, 14, № 3, 128–160 (2017) [рос.].
11. L. P. Nizhnik, The inverse scattering problems for the hyperbolic equations and their application to non-linear integrable systems, Rep. Math. Phys., 26, № 2, 261–283 (1988).
12. Л. П. Нижник, Інтегрування багатовимірних нелінійних рівнянь методом оберненої задачі, Допов. АН СРСР, 254, № 9, 332–335 (1980) [рос.]; English translation: Sov. Phys. Dokl., 25, № 9, 706–708 (1980).
13. L. P. Nizhnik, The Cauchy problem for the $(2 + 1)$ integrable nonlinear Schrödinger equation; arxiv 2305.06182 (2023); DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2305.06182.
14. L. P. Nizhnik, Well-posed Cauchy problem and the Hamiltonian form of $(2 + 1)$ nonlinear equations integrable by inverse scattering transform, arxiv 2412.16801 (2024); DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.16801.
