Обернена задача розсіяння для гіперболічної системи рівнянь на півосі
DOI:
https://doi.org/10.3842/umzh.v78i5-6.9744Ключові слова:
задача розсіяня, обернена задача, інтегральні представлення розв'язків.Анотація
УДК 517.98, 517.95
Для гіперболічних систем диференціальних рівнянь першого порядку на півосі досліджено задачу розсіяння у випадку, коли всі розв'язки мають асимптотики на нескінченності як падаючі або розсіяні хвилі. Задача полягає в отриманні розв'язків системи при заданні всіх падаючих хвиль і певної однорідної граничної умови. Оскільки розв'язок існує і єдиний, то виникає оператор розсіяння на півосі, що переводить усі падаючі хвилі у розсіяні. Для спеціального випадку, коли падаючих і розсіяних хвиль однакова кількість, встановлено властивості оператора розсіяння, зокрема, його факторизація на вольтеррівські множники різної полярності. Це дало змогу розв'язати обернену задачу розсіяння на півосі у випадку, коли за двома операторами розсіяння, що відповідають двом різним граничним умовам у задачі, однозначно визначаються всі потенціали в системі.
Посилання
1. Ю. М. Березанський, Розклади за власними функціями самоспряжених операторів, Наукова думка, Київ (1965) [рос.]; English translation: Expansion in eigenfunctions of self-adjoint operators, Translations of Mathematical Monographs, vol. 17, AMS, Providence, R.I. (1968).
2. Ю. М. Березанський, М. Є. Дудкiн, Якобiєвi матрицi i проблема моментiв, Iнститут математики НАН України, Київ (2019).
3. Л. П. Нижник, Обернені задачі розсіяння для гіперболічних рівнянь, Наукова думка, Київ (1991) [рос.].
4. Л. П. Нижник, В. Г. Тарасов, Обернена нестаціонарна задача розсіяння для гіперболічної системи рівнянь, Допов. АН СРСР, 233, № 3, 300–303 (1977) [рос.]; English translation:Dokl. Akad. Nauk SSSR, 42, 825–832 (1990).
5. Л. П. Нижник, Обернена нестаціонарна задача розсіяння, Наукова думка, Київ (1973) [рос.].
6. Л. П. Нижник, Н. Ш. Іскендеров, Обернена нестаціонарна задача розсіяння для гіперболічної системи з трьох рівнянь першого порядку на півосі, Укр. мат. журн., 42, № 7, 931–938 (1990) [рос.]; English translation: Ukr. Math. J., 42, № 7, 825–832 (1990);
7. L. Y. Sung, A. S. Fokas, Inverse problem for (N times N) hyperbolic systems on the plane and the (N)-wave interactions, Comm. Pure Appl. Math., 64, 535–571 (1991).
8. Н. Ш. Іскендеров, Обернена задача розсіяння для для гіперболічної системи з (N) рівнянь першого порядку на півосі, Укр. мат. журн., 43, № 12, 1638–1646 (1991) [рос.]; English translation:Ukr. Math. J., 43, № 12, 1524–1532 (1991);
9. Н. Ш. Іскендеров, Нестаціонарні обернені задачі розсіяння для системи гіперболічних рівнянь першого порядку на півосі, Елм, Баку (2000) [рос.].
10. Н. Ш. Іскендеров, Л. Н. Джафарова, Пряма та обернена задачі розсіяння для гіперболічної системи з шести рівнянь першого порядку на піввісі, Праці Інституту математики НАН України, 14, № 3, 128–160 (2017) [рос.].
11. L. P. Nizhnik, The inverse scattering problems for the hyperbolic equations and their application to non-linear integrable systems, Rep. Math. Phys., 26, № 2, 261–283 (1988).
12. Л. П. Нижник, Інтегрування багатовимірних нелінійних рівнянь методом оберненої задачі, Допов. АН СРСР, 254, № 9, 332–335 (1980) [рос.]; English translation: Sov. Phys. Dokl., 25, № 9, 706–708 (1980).
13. L. P. Nizhnik, The Cauchy problem for the $(2 + 1)$ integrable nonlinear Schrödinger equation; arxiv 2305.06182 (2023); DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2305.06182.
14. L. P. Nizhnik, Well-posed Cauchy problem and the Hamiltonian form of $(2 + 1)$ nonlinear equations integrable by inverse scattering transform, arxiv 2412.16801 (2024); DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2412.16801.
