Про одну оцiнку для подiлених рiзниць та її застосування

Анотація

Наведено оцiнку узагальненої подiленої рiзницi $[x_0, ..., x_m; f]$, де деякi з точок $x_i$ можуть збiгатися (в цьому випадку $f$ вважається досить гладкою). Цю оцiнку потiм застосовано для суттєвого посилення вiдомих нерiвностей Уiтнi i Маршу та узагальнення їх для полiномiальної iнтерполяцiї Ермiта. Наприклад, одним iз численних наслiдкiв цiєї оцiнки є той факт, що для заданої функцiї $f \in C(r)(I)$ та набору точок $Z = \{ z_j\}^{\mu}_{j=0}$ таких, що $z_{j+1} - z_j \geq \lambda | I|$ для всiх $0 \leq j \leq \mu 1$, де $I := [z_0, z_{\mu} ], | I|$ — довжина $I, \lambda $ — деяке додатне число, полiном Ермiта $\scr L(\cdot ; f;Z)$ степеня $\leq r\mu + \mu + r$, який задовольняє $\scr L^{(j)}(z\nu ; f;Z) = f(j)(z\nu )$ для $0 \leq \nu \leq \mu$ i $0 \leq j \leq r$, наближає $f$ так, що для всiх $x \in I$ $$| f(x) \scr L (x; f;Z)| \leq C (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x,Z))^{r+1} \int^{2| I|}_{dist (x,Z)}\frac{\omega_{m-r}(f^{(r)}, t, I)}{t^2}dt,$$ де $m := (r + 1)(\mu + 1), C = C(m, \lambda)$ i $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x,Z) := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}0\leq j\leq \mu | x zj | $.