Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций

Анотація

Доведено непокращувану нерiвнiсть рiзних метрик $$\begin{array}{cc}\hfill {\left\Vert x\right\Vert}_q\le {\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_q{\left(\frac{{\left\Vert x\right\Vert}_p}{{\left\Vert {\varphi}_r\right\Vert}_p}\right)}^{\frac{r+1/q}{r+1/p}}{\left\Vert {x}^{(r)}\right\Vert}_{\infty}^{\frac{1/p-1/q}{r+1/p}},\hfill & \hfill q>p>0,\hfill \end{array}$$ для 2π-перюдичних функцій $x ∈ L_{∞}^r$, що задовольняють умову $$L{(x)}_p\le {2}^{1/p}{\left\Vert x\right\Vert}_p,$$ де $$L{(x)}_p:= \sup \left\{{\left\Vert x\right\Vert}_{L_p\left[a,b\right]}:a,b\in \left[0,2\pi \right],\kern0.5em \left|x(t)\right|>0,\kern0.5em t\in \left(a,b\right)\right\},$$ а $φ_r$ — ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$. Як наслідок отримано точні нєрівності типу Нікольського для поліномів і полiномiальних сплайнiв, що задовольняють умову (А).