O сходимости решений стохастических дифференциальных уравнений к потоку Арратья

Анотація

Розглянуто розв'язок $x_{\varepsilon}$ рівняння $$dx_{\varepsilon}(u,t) = \int\limits_\mathbb{R}\varphi_{\varepsilon}(x_{\varepsilon}(u,t) - r) W(dr,dt), $$ $$x_{\varepsilon}(u,0) = u,$$ де $W$ — вінерів лист на $\mathbb{R} \times [0; 1].$ Доведено, що у випадку, коли $\varphi_{\varepsilon}^2$ збігається до $p \delta(\cdot - a_1) + q \delta(\cdot - a_2),$ тобто гранична функція, що описує вплив випадкового серидовища, сингулярна більш ніж у одній точці, має місце слабка збіжність $\left(x_{\varepsilon}(u_1, \cdot),...,x_{\varepsilon}(u_d, \cdot) \right)$ до $\left(X(u_1, \cdot),...,X(u_d, \cdot) \right)$, де $X$— потік Арратья, при $\varepsilon\rightarrow0_+.$