О некоторых неравенствах типа Колмогорова, учитывающих число перемен знака производных

Анотація

Одержано нову точну нерівність типу Колмогорова $$|| x^(k) ||_q \leqslant (\frac{v(x^(k))}{2})^{1/q} \frac{|| \phi_{r-k} ||_q}{||| \phi_r |||_p^\alpha} ||| x |||_p^\alpha || x^(r) ||_\infty^{1- \alpha}, k, r \in N, k < r,$$ у якій враховано число змін знаку похідних $ν(x^{(k)})$ на періоді, для $2\pi$-періодичних функцій $x \in L_{\infty} ^r$ і для довільних $q ∈ [1, ∞]$, $p ∈ (0, ∞]$, де $α = (r − k + 1/q)/(r + 1/p)$, $ϕ_r$— ідеальний сплайн Ейлера порядку $r$, $$\begin{gathered} \left\| {\left| x \right|} \right\|_p : = {\text{sup}}_{a,b \in {\text{R}}} \{ E_0 (x)_{L_p [a,b]} :x'(t) \ne 0{\text{ }}\forall t \in (a,b)\} , \hfill \\ {\text{ }} \hfill \\ {\text{ }}E_0 (x)_{L_p [a,b]} : = {\text{ inf}}_{c \in {\text{R}}} \left\| {x - c} \right\|_{L_p [a,b]} , $$ $∥x∥_{L_p[a,b]}:= \sup \text{vrai}_{t∈[a,b]}|x(t)|. Ця нерівність перетворюється в рівність для функцій вигляду $x(t) = aϕ_r(nt + b), a, b ∈ R, n ∈ N$. Одержано також аналог даної нерівності у випадку $k = 0, q = ∞$ і доведено нові точні нерівності типу Бернштейна для тригонометричних поліномів та сплайнів.