Приближение операторами Фурье функций, заданных на действительной оси

Анотація

Вводятся классы $\Phi_{\beta}^{\psi}\mathfrak N$ непрерывных на действительной оси функций, представимых с помощью сверток с преобразованиями Фурье, выпуклых при всех $t\geq 1$ и непрерывных при $t \geq 0$ функций $\psi(\cdot)$. При этом подмножество периодических функции из $\Phi_{\beta}^{\psi}\mathfrak N$ совпадает с ранее введенными автором множествами $C_{\beta}^{\psi}\mathfrak N$. В качестве приближающих агрегатов для функций $f (\cdot)$ из классов $\Phi_{\beta}^{\psi}\mathfrak N$ берутся операторы $F_{\sigma}(f; x)$, которые для периодических функций $f(\cdot)$ при натуральных $\sigma$ переходят в частные суммы Фурье $S_{\sigma-1}(f;x)$ порядка $\sigma-1$, а в общем случае есть целые функции экспоненциального типа $\leq \sigma$. Главное внимание в статье уделяется нахождению асимптотических при $\sigma→\infty$ равенств для величин отклонений $\rho_{\sigma}(f;x)=f(x)-F_{\sigma}(f;x)$, а также для верхних граней этих величин на классах $\Phi_{\beta}^{\psi}\mathfrak N$, когда в качестве $\mathfrak N$  берется либо известный класс $H_{\omega}$, либо единичный шар $S_M$ в пространстве $M$ существенно ограниченных функций. Получены утверждения, аналогичные тем, которые ранее были установлены автором для классов $C_{\beta}^{\psi}\mathfrak N$.