Сходимость линейных средних кратных рядов Фурье непрерывных функций

Анотація

Пусть $M =\{1,2,\dots,m\}$, $G=\{j_1,j_2,\dots,j_r\}\subset M$, $l_G=(l_{j_1},l_{j_2},\dots,l_{j_r})$, $\Lambda=\{\lambda_k^{(n)}\}=\{ \lambda_k\}$, $n=(n_1,n_2,\dots,n_m)$, $n_i=0,1,\dots,k_i=0,1,\dots, n_i-1$, $\Delta_1^{f_1}\lambda_k=\lambda_k-\lambda_{k_{M \setminus \{j_i\},k_{j_1}+i_{j_1}}}$,

$\Delta_1^G\lambda_k=\Delta_1^{G\setminus \{i_1\}}(\Delta_1^{j_1}\lambda_k)= \Delta_1^{G\setminus \{i_r\}}(\Delta_1^{j_r}\lambda_k)$,

$\nabla_{2l_{j_1}}^{j_1}\lambda_k=\lambda_{k_{M\setminus \{j_1\},k_{j_1}-l_{j_1}}}-\lambda_{k_{M\setminus \{j_1\},k_{j_1}+l_{j_1}}}$,

$\Delta_{l_G}^G\lambda_k=\nabla_{l_{G\setminus \{j_1\}}(\nabla_{l_j}^{f_1},\lambda_k)}^{G\setminus \{j_1\}}$.

Решается задача С. M. Никольского: доказывается, что если для матрицы $\Lambda=\{\lambda_k\}$ выполняется неравенство

\[\sum_{DG\subset M}\sum_{k_i=1, i\in D}^{n_i-1}\sum_{k_j=2, j\in G}^{n_j-2}\sum_{k_s=0, s\in M\setminus (D\cup G)}^{n_s-1}\Pi_{i\in D}\frac{1}{k_i}|\sum_{l_j=1, j\in G}^{k_j,n_j}\nabla_{l_G}^G(\nabla_l^{M \setminus D}\lambda_{n_D-k_D,k_{M\setminus D}})\times \Pi_{j\in G}l_j^{-1}\leq C, \quad C=const,\]

то для того чтобы для любой функции $F(x)\in C_{2\pi}$ в каждой точке $x$ (или равномерно по $x$) было справедливо равенство $lim_{n→\infty} U_n (f; x; \Lambda)=f(x)$, необходимо и достаточно выполнения условий $lim_{n→\infty} \lambda_k^{(n)}=1$ и $\sum_{k=1}^{n-1}|\lambda_{n-k}|\times \Pi_{i\in M}k_i^{-1}\leq C$. Здесь $T^m=(-\pi,\pi]^m$.

\[U_n(f;x;\Lambda)=\frac{1}{\pi^m}\int_{T^m}f(x+t)H_n(t)dt,\]

\[H_n(t)=\sum_{k=0}^{n-1}2^{-\nu_k}\lambda_k^{(n)}\Pi_{i\in M}cos k_ix_i.\]