О свойствах непрерывных отображений неограниченных метрических пространств

Анотація

Нехай замкнена необмежена множима $F\subset R_n$ зображена у вигляді об’єднання скінченного числа $p$ замкнених необмежених множин $F_i$, попарно без спільних точок, і нехай $f$  — неперервне відображення $F$  в метричний простір $R^{(2)}$. З кожною множиною $F_i$ пов’язується нескінченно віддалена точка $\infty$, в якій передбачається, що відображення $f$ має кінцеву границю $A_i\in R^{(2)}, i=1,2,\dots,p$.

Доведено: 1) $f$  обмежене на $F$; 2) якщо $f$—дійсний функціонал, то серед множини $f(F)U (\bigcup_{i=1}^pA_i)$ існує найменше і найбільше значення 3) якщо відстань між множинами $F_i$  і $F_j$, $i\ne j$, більша від нуля, то $f$  рівномірно неперервне на $F$.